纵观安徽省近年来的中考数学试卷，其题型、题量已自成风格，最明显的特征是稳中求新。除了每年的第23题压轴题让人耳目一新之外，其中第14题亦填空、亦多项选择，更是能让师生们细嚼慢咽、津津乐道。现列举安徽省2010至2014年的中考数学第14题加以品味，以飨读者。 

一、试题回放

　　1、以等腰三角形为背景

　　例1、（2010年安徽第14题）如图1，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是　 ．

①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．

http://s11/mw690/001hgSUBgy6K8EZf01Qca&690

　　　　　　　　　　　　图1 　　　　　　　　　　　　　　图2

解：易知①错误。

②当∠BAD=∠CAD时，∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高；

则△ABD≌△ACD，∴△BAC是等腰三角形，AB＝AC，②正确。

③当AB+BD=AC+CD时，延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC，连接AE、AF。∵AB+BD=CD+AC，∴DE=DF，又AD⊥BC，∴△AEF是等腰三角形，∴∠E=∠F；∵AB=BE，∴∠ABC=2∠E；同理，得∠ACB=2∠F；∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，③正确。

④当AB﹣BD=AC﹣CD时，在△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得：

AB²﹣BD²=AC²﹣CD²，即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD），

∵AB﹣BD=AC﹣CD①，

∴AB+BD=AC+CD②；

①+②得：，2AB= 2AC；∴AB=AC，④正确。

故填②③④．

赏析：本题考查的是等腰三角形的判定与性质，勾股定理及整式的变换。可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②是否正确；③④要通过作等腰三角形来判断其结论是否成立，但能够正确的构建出等腰三角形是解答③题的关键。

2、以新定义为背景

例2、（2011年安徽第14题）定义运算a※b=a（1﹣b），下列给出了关于这种运算的几个结论：

①2※（﹣2）=6； ②a※b=b※a；

③若a+b=0，则（a※a）+（b※b）=2ab； ④若a※b=0，则a=0．

其中正确结论的序号是　 ．（在横线上填上你认为所有正确结论的序号）

解：∵a※b=a（1﹣b），

∴2※（﹣2）=2×[1﹣（﹣2）]=2×3=6，故①选项正确；

a※b=a×（1﹣b）=a﹣ab

b※a=b（1﹣a）=b﹣ab，

故②选项错误；

∵（a※a）+（b※b）=[a（1﹣a）]+[b（1﹣b}]=a﹣a2+b﹣b2，

∵a+b=0，

∴原式=（a+b）﹣（a2+b2）=0﹣[（a+b）2﹣2ab]=2ab，

故③选项正确；

∵a※b=a（1﹣b）=0，

∴a=0错误．

故①③正确。

赏析：本题主要考查了整式的混合运算，需先根据a※b=a（1﹣b）的运算法则，分别对每一项进行计算，在解题时能正确根据所提供的新定义公式进行运算是解题的关键。

3、以矩形为背景

例3、（2012•安徽第14题）如图3，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S₁、S₂、S₃、S₄，给出如下结论：

①S₁+S₂=S₃+S₄；②S₂+S₄=S₁+S₃；③若S₃=2S₁，则S₄=2S₂；④若S₁=S₂，则P点在矩形的对角线上．

其中正确的结论的序号是　     　（把所有正确结论的序号都填在横线上）．

http://s11/mw690/001hgSUBgy6Ki4hoB9E3a&690

 

　　　　　 　　　　　　　　　　图3                                   　　　图4

解：如右图4，过点P分别作PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，

∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，

∴此时两三角形的高的和为AB，即可得出S₁+S₃= 矩形ABCD面积；

同理可得出S₂+S₄= 矩形ABCD面积；

∴S₂+S₄=S₁+S₃故②正确；

当点P在矩形的两条对角线的交点时，S₁+S₂=S₃+S₄．但P是矩形ABCD内的任意一点，所以该等式不一定成立，故①不一定正确；

③若S₃=2S₁，只能得出△APD与△PBC高度之比，S₄不一定等于2S₂，故③错误；

④若S₁=S₂， ×PF×AD= PE×AB，

∴△APD与△PBA高度之比为PF：PE＝AB：AD，

∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，

∴四边形AEPF是矩形，

∴此时矩形AEPF与矩形ABCD相似，

∴PF：CD=PE：BC，

∴P点在矩形的对角线上，故④正确。

故答案为：②和④．

赏析：此题主要考查了矩形的性质以及三角形面积求法，根据三角形面积求法以及矩形性质得出S1+S3等于矩形ABCD面积的一半，以及PF：PE＝AB：AD，PF：CD=PE：BC，即可得出P点一定在AC上．根据已知得出PF：CD=PE：BC是解题关键

4、以折叠为背景

例4、（2013•安徽第14题）已知矩形纸片ABCD中，AB=1，BC=2．将该纸片折叠成一个平面图形，折痕EF不经过A点（E、F是该矩形边界上的点），折叠后点A落在点A′处，给出以下判断：

①当四边形A′CDF为正方形时，EF= ；

②当EF= 时，四边形A′CDF为正方形；

③当EF= 时，四边形BA′CD为等腰梯形；

④当四边形BA′CD为等腰梯形时，EF= ．

其中正确的是　   　（把所有正确结论的序号都填在横线上）．

http://s6/mw690/001hgSUBgy6Ki4CF8RD35&690
   

解：∵在矩形纸片ABCD中，AB=1，BC=2，

∴BC=2AB．

如图①．∵A′CDF为正方形，说明A′F刚好是矩形ABCD的中位线，

∴AF=BA′=1，即点E和点B重合，EF即正方形ABA′F的对角线．

EF=根2，AB=根2．

故①正确；

如图①，由①知四边形A′CDF为正方形时，EF=根2，此时点E与点B重合．

EF可以沿着BC边平移，当点E与点B不重合时，四边形A′CDF就不是正方形．

故②错误；

如图②，∵BD=根5，EF=根5，

∴BD=EF，

∴EF与对角线BD重合．

易证BA′CD是等腰梯形．

故③正确；

BA′CD为等腰梯形，只能是BA′=CD，EF与BD重合，所以EF=根5．

故④正确．

综上所述，正确的是①③④．

赏析：本题考查了折叠的性质．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等。      

５、以平行四边形为背景

例5、（2014•安徽第14题）如图5，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是　　　　　．（把所有正确结论的序号都填在横线上）

①∠DCF= ∠BCD；②EF=CF；③S_△BEC=2S_△CEF；④∠DFE=3∠AEF．

http://s4/mw690/001hgSUBgy6Ki6c72E303&690

　　　　　　　　　　　　　　　图5                                  　　　图6

解：①∵F是AD的中点，

∴AF=FD，

∵AD=2AB，

∴AF=FD=CD，

∴∠DFC=∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠DFC=∠FCB，

∴∠DCF=∠BCF，

∴∠DCF=1/2∠BCD，故①正确；

如图6，延长EF，交CD延长线于M，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠A=∠MDE，

∵F为AD中点，

∴AF=FD，

在△AEF和△DFM中，∠A=∠FDM，AF=DF，∠AFE=∠DFM，

∴△AEF≌△DMF（ASA），

∴FE=MF，∠AEF=∠M，

∵CE⊥AB，

∴∠AEC=90°，

∴∠AEC=∠ECD=90°，

∵FM=EF，

∴FC=FM，故②正确；

③∵EF=FM，

∴S△EFC=S△CFM，

∵MC＞BE，

∴S△BEC＜2S△EFC

故③错误；

④设∠FEC=x，则∠FCE=x，

∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，

∴∠EFC=180°﹣2x，

∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，

∵∠AEF=90°﹣x，

∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．

故答案为：①②④．

赏析：此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等知识，利用“倍长中线”的思路正确添加辅助线，得出△AEF≌△DME是解题关键。

二、教学启发

　　笔者认为，近几年安徽中考数学的第14题才是整张试卷最难的一题，尤其是几何综合，对学生的知识掌握与应用都有很高的要求。虽然我们老师知道，在中考时，有许多学生是凭着感觉“蒙”对的这道题，但作为能力的训练与考查，我觉得这样的题目应该让学生当作非选择填空题来尝试解答，使他们知其所以然，教师也可以把这类题作为例题来讲解，举一反三，以期提高。