那些违反常识的数学定理，奠定了人类的真理世界

一：费马大定理

我们知道勾股数有无限个，勾三股四弦五，就是最简单的勾股数。由此我们猜想：当次数n大于2时会怎么样？

费马大定理指出：

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这样的形式，当指数n大于2时，不存在整数解。

这简直就是反直觉啊，凭什么n=2时有无数个，大于2却一个都没有！事实是这样的，该定理历经358年才被证明。

利用费马大定理，可以得到一些有趣的证明，比如证明3次根号2为无理数：

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这个证明简直就是大炮打蚊子，但却很美妙。

二：分球定理

数学中，有一条极其基本的公理，叫做选择公理，许多数学内容都要基于这条定理才得以成立。

在1924年，数学家斯特·巴拿赫和阿尔弗莱德·塔斯基根据选择公理，得到一个奇怪的推论——分球定理。

该定理指出，一个三维实心球分成有限份，然后可以根据旋转和平移，组成和原来完全相同的两个实心球。没错，每一个和原来的一模一样。

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分球定理太违反直觉，但它就是选择公理的严格推论，而且不容置疑的，除非你抛弃选择公理，但数学家会为此付出更大的代价。

三：无穷大也有等级大小

在二十世纪以前，数学家们遇到无穷大都避而让之，认为要么哪里出了问题，要么结果是没有意义的。

直到1895年，康托尔建立超穷数理论，人们才得知无穷大也是有等级的，比如实数个数的无穷，就比整数个数的无穷的等级高。

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这也太违反直觉了，我们从来不把无穷大当作数，但是无穷大在超穷数理论中，却存在不同的等级。

四：“可证”和“真”不是等价的

1931年，奥地利数学家哥德尔，提出一条震惊学术界的定理——哥德尔不完备定理。

该定理指出，我们目前的数学系统中，必定存在不能被证明也不能被证伪的定理。该定理一出，就粉碎了数学家几千年的梦想——即建立完善的数学系统，从一些基本的公理出发，推导出一切数学的定理和公式。

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可哥德尔不完备定理指出：该系统不存在，因为其中一定存在，我们不能证明也不能证伪的“东西”，也就是数学系统不可能是完备的，至少它的完备性和相容性不能同时得到满足。

五：一维可以和二维甚至更高维度一一对应

按照我们的常识，二维比一维等级高，三维比四维等级高，比如线是一维的，所以线不能一一对应于面积。

但事实并非如此，康托尔证明了一维是可以一一对应高维的，也就是说一条线上的点，可以和一块面积甚至体积的点一一对应，或者说他们包含的点一样多。

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说到一一对应，就离不开函数，那么这样从低维到高维的函数存在吗？

答案是肯定的！

在1890年，意大利数学家皮亚诺，就发明了一个函数，使得函数在实轴[0,1]上的取值，可以一一对应于单位正方形上的所有点，这条曲线叫做皮亚诺曲线。

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这个性质的发现，暗示着人类对维度的主观认识，很可能是存在缺陷的。

六：地图定理

该定理是这样的，比如我们在国内，拿着中国地图，那么在该地图上，一定存在一个点，使得图上的点，和该点所在的真实地理位置精确一致，这么一个点我们绝对能找到。

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该定理还可以扩展，说地球上一定存在一个对称的点，在任何时刻，它们的温度和气压一定精确相等，注意，这里说的"一定"并不是概率上的"一定"，而是定理保证的绝对性。

当然，有人会说这个定理无法用于实际。

但利用这个定理，我们知道在一个公园的任意地方，标示一张地图的话，我们一定能在图上找到"当前所在位置"。

七：独立计算圆周率的任何一位

我们计算圆周率的公式有很多，很长一段时间里，我们都认为要计算圆周的1000位，必须把前面999位计算出来。

可是在1995年，数学家就发现了一个神奇的公式，该公式可计算圆周率的任何一位数字，而不需要知道前面的数字。

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比如计算第10亿位的数字，我们不需要知道10亿位之前的任何一位，该公式可以直接给出第10亿位的数。该公式简称BBP公式。

八：负数可以开根号

小时候老师告诉我们"负负得正"，可是到了高中，老师又突然把虚数单位“i”扔给我们，告诉我们“i^2=-1”，这简直就是反直觉啊！为何这个数的平方会是负数。

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数学中，反直觉的定理非常多，到底是我们的数学，本来就是违背真实世界的呢？还是我们的常识，本来就存在认知缺陷？不同的人有不同的答案。

不过，我们可以确信的一点是，数学是追求相容的，一套数学系统，只要它在定义范围内相容或者完备，那么这套数学系统，就有它存在的意义，不管是否和我们常识相悖。