圆锥曲线统一极坐标方程是怎么推导来的

目前教科书中只有三种圆锥曲线的统一极坐标定义，它的局限性就是不包含圆。这种不包含圆的三种圆锥曲线是没有真正的统一性。实际上它是一个定义三角形△MFG的性质：

动点M到焦点F的距离MF与动点M到准线的距离MG的比e是常数，动点M的轨迹叫圆锥曲线。这实际上规定了一个两边夹角的三角形的性质，我们称它定义三角形△MFG。

定义三角形△MFG由两个常数e、p和一个变数极角θ 构成，这里规定极轴在x轴上。

定义三角形的三角：极角θ=∠FMG，β=∠MGF，∠MFG =π-（θ+β）

线段MF是动点M到焦点F的距离MF= FM，    该线段叫极径R=FM

线段MG是动点M到准线的距离且与极轴x平行，该线段MG = p+ x

线段FG是焦点F到准线上的垂足G的距离FG，该线段P = FGcosβ

以“圆锥三角形△FMN”代替“定义三角形△MFG”，二者是相似三角形，e是相似比。

令：  L0 = e*P   故P =L0/e

定义：e =MF/MG = R/（p+ Rcosθ）= R/（p+x）

或者，1 = MF /eMG =R/(ep+ex) =R/(L0+eRcosθ)

或者，R =L0+ex= L0+eRcosθ

或者，L0= R-eRcosθ= R(1-ecosθ)

故，  R = L0/ (1-ecosθ)

注意：最小曲率半径L0，是顶点的曲率圆半径，又称通径、焦参数、半正焦弦，是尖点到顶点的距离。

L0 =a(1-e)(1+e) =a(1-e²)=b²/a =P*e

当e=0时L0 = a ；

当0³β

圆锥曲线的统一极坐标方程，有四种性质不同的圆锥曲线：

当e=0时为圆；当01时为双曲线。

    R= FM= L0/ (1-ecosθ)

X=FD = Rcosθ

Y =DM= Rsinθ

01.圆锥三角形运动：       http://www.xyd1936.cn/gif1024/avi_01.gif

02.椭圆三角形运动：       http://www.xyd1936.cn/gif1024/avi_02.gif

03.定义三角形运动：       http://www.xyd1936.cn/gif1024/avi_03.gif 

自然规律探索者——夏曰鼎    

2008年1月22日 修改