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多电子原子的轨道可以近似的用slater函数来描述。

为了方便，假设原子核位置为原点（0，0，0），对于任意原子核位置（x0，y0，z0），把x-x0，y-y0，z-z0带入相应的x、y、z位置即可。

slater函数可以根据主量子数n，角量子数l，磁量子数m写成：

slater(x，y，z)=Rnl(r)*Ylm(x，y，z)，其中r=sqrt(x^2+y^2+z^2)。

Rnl(r)为slater函数的径向部分，Ylm(x，y，z)为球谐函数。

Rnl(r)=N*r^(n-1)*exp(-deta*r)。   N为归一化常数，n为有效主量子数(n小于4时和主量子数相等)，deta为轨道系数。

n小于4时，N的表达式是：

N=[(2*deta)^(n+0.5)]/sqrt(阶乘(2*n))。

 

球谐函数Ylm(x，y，z)由角量子数l，磁量子数m决定，角量子数l小于3时，Ylm的表达式分别为：

l=0，m=0：Ylm=sqrt(1/(4*pi))。对应s型波函数。

l=1，m=0：Ylm=sqrt(3/(4*pi))*z/r。对应pz型波函数。

l=1，m=1：Ylm=sqrt(3/(4*pi))*x/r。对应px型波函数。

l=1，m=-1：Ylm=sqrt(3/(4*pi))*y/r。对应py型波函数。

l=2，m=0：Ylm=sqrt(5/(16*pi))*(z*z*3/(r*r)-1)。对应dz2型波函数。

l=2，m=1：Ylm=sqrt(15/(4*pi))*(x*z/(r*r))。对应dxz型波函数。

l=2，m=-1：Ylm=-sqrt(15/(4*pi))*(y*z/(r*r))。对应dyz型波函数。

l=2，m=2：Ylm=-sqrt(15/(16*pi))*(2*x*y/(r*r))。对应dxy型波函数。

l=2，m=-2：Ylm=sqrt(15/(16*pi))*((x*x-y*y)/(r*r))。对应dx2-dy2型波函数。

pi=3.1415926。
简单的介绍了一下slater函数的表达式，下面开始介绍Gauss函数。

一个普通的Gauss函数可以写成：

Gauss(x，y，z)=(x^lg)*(y^mg)*(z^ng)*exp(-alpha*r^2)。

其中r^2=r*r=x^2+y^2+z^2。lg、mg、ng和Slater函数的l、m、n没有关系，所以带了个下标g。alpha可以认为是Gauss函数的轨道系数。

为了后面描述方便，下面根据lg，mg，ng定义几种不同形式的Gauss函数。

lg=0，mg=0，ng=0时定义Gauss函数为s型，Gauss函数写成Gauss_s。

lg=1，mg=0，ng=0时定义Gauss函数为px型，Gauss函数写成Gauss_px。

lg=0，mg=1，ng=0时定义Gauss函数为py型，Gauss函数写成Gauss_py。

lg=0，mg=0，ng=1时定义Gauss函数为pz型，Gauss函数写成Gauss_pz。

lg=1，mg=1，ng=0时定义Gauss函数为dxy型，Gauss函数写成Gauss_dxy。

lg=0，mg=1，ng=1时定义Gauss函数为dyz型，Gauss函数写成Gauss_dyz。

lg=1，mg=0，ng=1时定义Gauss函数为dxz型，Gauss函数写成Gauss_dxz。

lg=2，mg=0，ng=0时定义Gauss函数为dx2型，Gauss函数写成Gauss_dx2。

lg=0，mg=2，ng=0时定义Gauss函数为dy2型，Gauss函数写成Gauss_dy2。

lg=0，mg=0，ng=2时定义Gauss函数为dz2型，Gauss函数写成Gauss_dz2。

本文只介绍sto-3g基组，即采用3个Gauss函数拟合一个slater函数。

接下来从n=1，l=0，m=0的1s型slater函数开始，逐一介绍各个slater函数的拟合表达式。

n=1，l=0，m=0，slater函数为1s型，当slater函数的轨道系数为deta时，

slater_1s=c[1]*Gauss_s(Gauss轨道系数a[1])+c[2]*Gauss_s(Gauss轨道系数a[2])+c[3]*Gauss_s(Gauss轨道系数a[3])。

其中a[i]=at_1s[i]*(deta^2)，i=1~3。              c[i]=ct_1s[i]*(2*a[i]/pi)^0.75。

at_1s[i]和ct_1s[i]的值由以下表格给出：

n=2，l=1，m=-1，slater函数为2py型，当slater函数的轨道系数为deta时，

slater_2py=c[1]*Gauss_py(Gauss轨道系数a[1])+c[2]*Gauss_py(Gauss轨道系数a[2])+c[3]*Gauss_py(Gauss轨道系数a[3])。

其中a[i]=at_2p[i]*(deta^2)，i=1~3。             c[i]=ct_2p[i]*[128*(alpha_1^5)/(pi*pi*pi)]^0.25;

at_2p[i]和ct_2p[i]的值和slater_2pz取一样。

 

 

n=3，l=1，m=0，slater函数为3py型，当slater函数的轨道系数为deta时，

slater_3pz=c[1]*Gauss_pz(Gauss轨道系数a[1])+c[2]*Gauss_pz(Gauss轨道系数a[2])+c[3]*Gauss_pz(Gauss轨道系数a[3])。

其中a[i]=at_3p[i]*(deta^2)，i=1~3。              c[i]=ct_3p[i]*[128*(alpha_1^5)/(pi*pi*pi)]^0.25;

at_3p[i]和ct_3p[i]的值由以下表格给出：

 

n=3，l=1，m=1，slater函数为3px型，当slater函数的轨道系数为deta时，

slater_3px=c[1]*Gauss_px(Gauss轨道系数a[1])+c[2]*Gauss_px(Gauss轨道系数a[2])+c[3]*Gauss_px(Gauss轨道系数a[3])。

其中a[i]=at_3p[i]*(deta^2)，i=1~3。              c[i]=ct_3p[i]*128*(alpha_1^5)/(pi*pi*pi)]^0.25;

at_3p[i]和ct_3p[i]的值和slater_3pz一样。

n=3，l=1，m=-1，slater函数为3py型，当slater函数的轨道系数为deta时，

slater_3py=c[1]*Gauss_py(Gauss轨道系数a[1])+c[2]*Gauss_py(Gauss轨道系数a[2])+c[3]*Gauss_py(Gauss轨道系数a[3])。

其中a[i]=at_3p[i]*(deta^2)，i=1~3。              c[i]=ct_3p[i]*128*(alpha_1^5)/(pi*pi*pi)]^0.25;

at_3p[i]和ct_3p[i]的值和slater_3pz一样。

 

 

n=3，l=2，m=1，slater函数为3dxz型，当slater函数的轨道系数为deta时，

slater_3dxz=c[1]*Gauss_dxz(Gauss轨道系数a[1])+c[2]*Gauss_dxz(Gauss轨道系数a[2])+c[3]*Gauss_dxz(Gauss轨道系数a[3])。

其中a[i]=at_3d[i]*(deta^2)，i=1~3。              c[i]=ct_3d[i]*[2048*(alpha_1^7)/(pi*pi*pi)]^0.25

at_3d[i]和ct_3d[i]的值由以下表格给出：