立体几何中三种空间角的求法（复习课）

                                     陕县一高    朱卫燕  2015-11-18

学习目标：

1.会用向量法求三种空间角的大小。
2.掌握三种空间角的向量解法的转化方法。

一、相关知识复习

1.直线的方向向量与平面的法向量的确定

 （1）直线的方向向量：在直线上任取一 ______   向量作为它的方向向量.

 （2）平面的法向量可利用方程组求出：设a,b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为___________

2.空间向量与空间角的关系

  (1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2， 则l1与l2所成的角θ满足  ___________                    .

  (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m,n，则直线l与平面α所成角θ满足__________

                  .

  (3)求二面角的大小

  ①如图①，AB、CD是二面角α—l—β的两个面 内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=  _____________

   ② 如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ=   ________                   

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3.点面距的求法

  如图,设AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离d=   ___________       .

二、自学检测：

1.若直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4),b= (-6,9,6)，则(   )

  A.l1∥l2               B.l1⊥l2

  C.l1与l2相交但不垂直   D.以上均不正确

2.已知平面α内有一个点M（1，-1，2），平面α的一个法向量是n=（6，-3，6），则下列点P中在平面α内的是(   )

  A.P（2，3，3）      B.P（-2，0，1）

  C.P（-4，4，0）     D.P（3，-3，4）

3.已知两平面的法向量分别为m=（0，1，0），n=（0，1，1）,则两平面所成的二面角为(   )

  A.45°              B.135°      C.45°或135°       D.90°

4.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).  若c与a及b都垂直，则m,n的值分别为(   )

  A.-1,2          B.1,-2            C.1,2            D.-1,-2

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四、方法与技巧

1.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路:

一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进 行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步:（1）建立立体图形与空间向量的联 系，用空间向量（或坐标）表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；（3）根据运算结果的几何意义来解释相关问题.

2.若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算.

  (1)求两异面直线a、b的夹角θ，须求出它们的方向向量a，b的夹角,则cos θ=|cos〈a,b〉|.

  (2)求直线l与平面α所成的角θ可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角.则sin θ=|cos〈n,a〉|.

  (3)求二面角α—l—β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n1,n2所成的角，则θ =〈n1,n2〉或π-〈n1,n2〉.

五、巩固提高：

1.长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为                            

2.设平面α与向量a=(-1,2,-4)垂直，平面β与向量b=(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系是  __________     .

3.正四棱锥S—ABCD中,O为顶点在底面上的射 影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平 面PAC所成的角是  _______    .

4.如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，

  BC=2  ，M为BC的中点.

 (1)证明：AM⊥PM；

 (2)求二面角P—AM—D的大小；

 (3)求点D到平面AMP的距离.

5.如图所示，在棱长为2的正方体

  ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为A1D1和CC1的中点.

  (1)求证：EF∥平面ACD1；

  (2)求异面直线EF与AB所成角的余弦值；

  (3)在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P—AC—B的大小为30°？若存在,求出BP的长,若不存在，请说明理由.

 六、课堂小结：

1.正确建立空间直角坐标系，并且能快速写出各点的坐标。

2.能够灵活运用相关公式，并能正确回答题中的问题。

3.正确理解线线角，线面角和面面角与向量夹角间的关系。

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七、课后反思：

  1.目标明确，思路清晰，突出重点，指明难点。关键把握本节课建系——设点——计算的三步骤

 2.学生还是不能够准确快速的转化线线角，线面角及面面角

 3.学生在做题过程中不能很好地把握细节，很容易丢三落四，今后还要在细节上狠下功夫