莲花王子
2007．3．4

 

我们在敲锣打鼓的时候，感觉到了振动。振动激励了周围的空气，形成了声波。声波传播到我们的耳朵里，我们听到了声音。

在物理学上最简单的振动是“简谐振荡”。固定在弹簧上的一个小球在偏离了平衡位置之后释放，在平衡位置两边的振动就是简谐振荡的例子。钟摆的运动也接近于简谐振荡。简谐振荡所激励的波叫做“正弦波”。我们把正弦波在时间轴上展开，得到了正弦曲线。用于电报或报警指示的最简单的电子蜂鸣器发出的声音就是正弦波。

正弦波或者正弦曲线具有三个参量：振幅、频率和相位。一个正弦波的振幅越大，我们听到的声音的响度越大。响度反映了振幅的大小，但是二者并不是成正比的。在人的听觉范围之内，响度与振幅的对数成正比。正弦波的频率越高，我们听到的声音就越尖锐；频率越低声音越沉闷。在音乐上，我们把声波频率的高低叫做“音高”。音高与频率的关系也不是成正比的，而是呈对数关系，音程与频率的对数成正比。至于正弦波的相位，对于人类的听觉而言，只能指示音源的方向，在音乐上是不敏感的。

自然界里的大多数物体并不能抽象成为一个质点，它们受到的约束也很复杂，因而它们的振动也不再是简单的“简谐振荡”，所产生的声音也不再是一个单纯的正弦波。在物理学上通过“弦”、膜”、“板”等模型来研究它们的振动，而在数学上则通过“积分变换”特别是“傅立叶变换”，把一个复杂的波形分解成一系列的正弦波的叠加。一个复杂波形分解成一系列正弦波的时候，频率最低的那个正弦波叫做“基波”，而频率较高的各个正弦波叫做“谐波”。谐波的频率为基波的两倍的叫做“二次谐波”，三倍的叫做“三次谐波”，倍数很多的叫做“高次谐波”。我们把基波和各次谐波的振幅都用相应长度的线段表示，依照频率从低到高排列起来，称之为“频谱”。各种不同的乐器发出的声音的频谱是不一样的，频谱的结构反映了乐器的音色。一般频谱比较狭隘的乐器的音色比较圆润，例如圆号；频谱比较宽阔的乐器的音色比较丰富，例如小提琴和钢琴等。

用傅立叶变换对波形进行分析的时候有一个假定，就是假设这个波形是周期性的。周期性的波形的声音称作“乐音”。而自然界里还有很多的波形是非周期性的，这样的声音称作“噪音”。从乐音向噪音的过渡，频谱将逐渐加宽，而噪音的频谱是无限宽的。因而对波形的分析从周期性过渡到非周期性，频谱也从离散频谱过渡到连续频谱。

一个乐队的构成，主要是弦乐、管乐等“乐音”乐器，但是往往也少不了打击乐器。鼓的声音随着振幅的衰减，频率也会下移，因而不是周期性的。多数打击乐的声音属于“噪音”。“噪音”并不一定是“坏”的声音，它对于表现音乐的力度、激烈和紧张情绪是必不可少的。

对于一个复杂的波形，我们听到的声音的大小是由什么物理量决定的呢？这里需要考虑基波和所有的各次谐波的振幅的作用。从本质上，我们要考虑这个复杂波形的能量，也就是基波和各次谐波的能量之和。能量和振幅的平方成正比。在计算能量的时候，我们把基波和各次谐波的振幅分别做平方，然后加起来，得到总能量。而为了与一个正弦波的声音大小进行比较，我们还要把这个复杂波形的总能量开平方，得到平均振幅，与正弦波的振幅进行比较。当然，我们已经说过，人类听觉对声音大小的感受，是与振幅的对数成正比的。

但是，上面这段话，是纯粹站在物理学方面来说的。实际上，根据生物学和生理学的研究，人类对于不同频率波形振幅的响度感受是不同的，根据实验绘出了一个响度曲线。振幅相同而频率不同的声音，在频率为1KHz左右响度最高，频率升高或者降低响度都会逐渐减小。人类的听觉范围是20Hz到20KHz之间。而随着年龄的增长，这个听觉范围也会逐渐变小。另外，不同的个体的听觉灵敏度也是不一样的，同一个个体在不同的环境和时间，听觉灵敏度也是有变化的。如此说来，问题是极其复杂的。我们只能大体上说，声音的响度与振幅的对数成正比。

前面我们已经说过，对于一个正弦波，音高是由频率决定的，音程与频率的对数成正比。那么，对于一个复杂的波形，音高是怎样决定的呢？

 

对于一个乐音，音高是由乐音基波的频率决定的，音程与乐音基波的频率对数成正比。从乐音向噪音过渡，音高将变得越来越模糊，例如定音鼓，它的音高是在滑动的。真正的噪音没有确定的音高，我们只能根据它的频谱集中的区域大致说它的声音高低。

上面我们已经交代清楚了正弦波与复杂波形、乐音与噪音的概念，下面我们在谈到音律、和声的时候，将不再把问题说得如此复杂，我们只是笼统地说音律、和声与声音频率的关系。下面所说的频率，当然可以指正弦波的频率，也泛指乐音的基波频率，甚至某个噪音的模糊的主能量谱线的频率。基波频率存在有这些关系，各次谐波也会有对应的关系，虽然表述起来会更复杂一些。希望这样的笼统说法不至于引起误解。

音高与声音频率的对数成正比。1834年在德国司徒嘉特的一次国际会议上，确定了第一国际音高a1为440Hz。那么，高8度的a2将是880Hz。而在一个8度的范围之内，如何确定各个音的频率呢？确定音高的规则叫做音律。历史上有3种主要的音律，分别是“五度相生律”、“纯律”和“十二平均律”。下面我们给出这3种音律确定音高的规则，并着重分析不同的音律对于和声的影响，指出其和谐与否的物理学本质。

五度相生律是中国的古老的音律。取一根弦，长度一定，并以一定的张力把它绷紧。弹奏这根弦，假设发出的声音频率为440Hz，即a1。如果弦的长度减半，那么频率将为880Hz，即为a2。而所谓“五度相生”是怎么回事呢？取a1弦长的2/3 ，则频率为a1的3/2，为440×3/2=660Hz，称为“5度上属音”，记为e2。再取e2的弦长的2/3，则频率为e2的3/2，为660×3/2=990Hz，是下一组的b2，它是e2的“5度上属音”。令b2降低一个8度，则弦长加倍为e2弦长的4/3，频率减半为660×3/4=495Hz，得到了b1。类似取b1的弦长的2/3得其“5度上属音” #f2＝495×2/3=742.5Hz。再类似取#f2的弦长的4/3，得其“5度上属音”的低8度音#c2＝742.5×3/4＝556.875Hz。以此类推，直到完全求得一个8度之内的12个音。但是这种音律不能保证8度音的频率正好是基音的2倍，所以在到达一个8度时以2倍校准。另外，也可以由基音向下求“5度下属音”，以保证在基音附近的音律较为准确。

五度相生律所生成的各个音名的频率如下表所示。表中还有一列，为各个音程的频率与基音的频率的比值的“最简整数比”。最简整数比的求法是应用“辗转除法”，也叫做“欧几里德算法”，求得一个链分数，在一定精度要求之下把链分数截断，然后化简为一个分数，即为最简整数比。最简整数比的提出具有重大的意义，下面我们将会看到，正是最简整数比揭示了和声的和谐程度的物理本质。

 

音程	音名	频率	整数比
基  音	a1	440	1︰1
小二度	#a1	463.53909	256︰243
大二度	b1	495	9︰8
小三度	c2	521.48148	32︰27
大三度	#c2	556.875	81︰64
纯四度	d2	586.66666	4︰3
增四度	#d2	622.25396	41︰29
纯五度	e2	660	3︰2
小六度	f2	695.30864	128︰81
大六度	#f2	742.5	27︰16
小七度	g2	782.22222	16︰9
大七度	#g2	835.31250	243︰128
纯八度	a2	880	2︰1

 

纯律是小提琴等弦乐器广泛使用的一种音律。因为纯律的和声最为和谐，所以在合唱队也推崇使用纯律。纯律的定音方法是交替使用“纯5度”和“大3度”来定音。和“五度相生律”相同，纯5度音的弦长是2/3，频率为3/2倍。基音a1=440Hz，纯5度音e2=440×3/2=660Hz。但是“大3度”的定音和“五度相生律”不同。根据“五度相生律”，大3度的最简整数比为81/64，而纯律使用了一个更简的整数比5/4。大3度的频率比值为5/4，则弦长的比值取4/5即可。从数值上，81/64=1.265625，5/4=1.25，好像相差不大。但是纯律的大3度最简频率整数为5/4，要比“五度相生律”的大3度的最简整数比为81/64简单得多，因此纯律的大3度比“五度相生律”的大3度要更和谐。后面我们将从物理学波形合成的过程来进一步解释为什么最简整数比反映了和谐的本质。

下表给出了纯律的各个音名和它的频率。

 

音程	音名	频率	整数比
基  音	a1	440	1︰1
小二度	#a1	465.88235	18︰17
大二度	b1	495	9︰8
小三度	c2	528	6︰5
大三度	#c2	550	5︰4
纯四度	d2	586.66666	4︰3
增四度	#d2	622.25396	41︰29
纯五度	e2	660	3︰2
小六度	f2	704	8︰5
大六度	#f2	733.33333	5︰3
小七度	g2	782.22222	16︰9
大七度	#g2	831.11111	17︰9
纯八度	a2	880	2︰1

 

五度相生律和纯律在把一个8度分割成12个音的时候，相邻的两个音的“距离”并不是相等的，也就是说，它们都不是“平均律”。使用钢琴等键盘乐器为了能够自由地转调，要求相邻的两个音的“距离”相等，因此有了“12平均律”。那么，“12平均律”的“平均”是什么意思呢？

 

音的“距离”相等，并不是说频率的差值相等，而是要求频率的对数的差值相等。也就是说，频率的对数构成了一个等差数列。等效地说，频率将构成一个等比数列。这个等比数列的比值是多少呢？它要求一个数，用这个比值来乘它，接连乘了12次，结果是那个数的2倍。假设这个比值是k，那么

440×k×k×k×k×k×k×k×k×k×k×k×k=880

显然k的12次方等于2，k就是2开12次方的方根

k=1.0594630943592952645618252949463……

有了k值，就可以计算出“12平均律”的各个音的频率了，如下表所示。从表中可以看到，“12平均律”的最简整数比普遍地不很理想，其和声效果是3种音律中最差的。

 

音程	音名	频率	整数比
基  音	a1	440	1︰1
小二度	#a1	466.16376	18︰17
大二度	b1	493.88330	55︰49
小三度	c2	523.25113	44︰37
大三度	#c2	554.36526	29︰23
纯四度	d2	587.32953	295︰221
增四度	#d2	622.25396	41︰29
纯五度	e2	659.25511	442︰295
小六度	f2	698.45646	27︰17
大六度	#f2	739.98884	37︰22
小七度	g2	783.99087	41︰23
大七度	#g2	830.60939	168︰89
纯八度	a2	880	2︰1

 

上面我们给出了3种音律从a1到a2的各个音的频率。有了这一组音的频率，很容易根据“8度音频率加倍”算出其他各组的各个音的频率。下面这个图是钢琴键盘分组的情况。有些乐器音域比较窄，没有那么多组。

在下面，我们把上面3种音律的表格集中起来。一方面可以比较不同音律的同一个音名的音的频率可能存在的差异，另一方面我们根据和声的和谐程度重新对各个音的位置进行了排列，靠上面的比较和谐，下面的比较不和谐。

 

	纯	律	五度	相生律	十二	平均律
音程	频率	整数比	频率	整数比	频率	整数比
基  音	440	1︰1	440	1︰1	440	1︰1
纯八度	880	2︰1	880	2︰1	880	2︰1
纯五度	660	3︰2	660	3︰2	659.25511	442︰295
纯四度	586.66666	4︰3	586.66666	4︰3	587.32953	295︰221
大三度	550	5︰4	556.875	81︰64	554.36526	29︰23
小六度	704	8︰5	695.30864	128︰81	698.45646	27︰17
小三度	528	6︰5	521.48148	32︰27	523.25113	44︰37
大六度	733.33333	5︰3	742.5	27︰16	739.98884	37︰22
大二度	495	9︰8	495	9︰8	493.88330	55︰49
小七度	782.22222	16︰9	782.22222	16︰9	783.99087	41︰23
小二度	465.88235	18︰17	463.53909	256︰243	466.16376	18︰17
大七度	831.11111	17︰9	835.31250	243︰128	830.60939	168︰89
增四度	622.25396	41︰29	622.25396	41︰29	622.25396	41︰29

 

现在，我们就要来揭示和声之所以和谐的物理学本质了。我们先来看一个乐音和它的8度音合成的情况。取a1=440Hz，a2=880Hz，最简整数比为1/2。这两个音的波形以蓝色和绿色表示，而他们的合成声波以红色表示。从图中可以看到，合成波形的周期正好就等于蓝色波形的周期。也就是说，1个蓝色波形的周期，正好等于2个绿色波形的周期，所以它们合成的红色波形的周期正好等于1个蓝色波形的周期。这是“绝对和谐”的情况。

再来看纯律和五度相生律的纯5度合成的情况。图中基音a1=440Hz，纯5度音e2＝660Hz，最简整数比2/3。因此，蓝色波的2个周期正好等于绿色波的3个周期，合成红色波的一个周期等于蓝色波的2个周期。这种情况我们称之为“完全和谐”。同属于“完全和谐”的还有纯4度。“完全和谐”的合成波周期比“绝对和谐”的合成波周期要长一些，所以和谐程度低一些，但是也还是非常高的和谐度。

我们再来看纯律的大3度的和声波形。图中基音a1=440Hz，大3度音#c2=550Hz，最简整数比4/5。合成波的1个周期等于蓝色波的4个周期或绿色波的5个周期，比起“完全和谐”更差一些，但是也还算是和谐的，我们称之为“比较和谐”。同属于“比较和谐”的有小6度以及小3度和大6度。

大2度和小7度，以及小2度和大7度，属于“不和谐”的音程。现在我们看看纯律和五度相生律的大2度的合成波形。图中我们可以看到，合成波形的一个周期等于蓝色波形的8个周期或绿色波形的9个周期。我们知道，乐音是周期性的波形，噪音是非周期性的波形。从乐音向噪音过渡，周期会越来越长，最后变成无限长。所以，周期长的合成波形，虽然它还是乐音，但是它已经比较接近噪音了，就是说，它的和谐程度越来越差了，它已经不和谐了。我们用两个波形的频率的最简整数比来判断合成波形的周期长短，而这也就决定了它的和谐程度，这就是我们指出的和声的物理本质。

现在我们来看纯律里的一个“非常不和谐”的音程：增4度。基音a1=440Hz，增四度d2=622.25396Hz，最简整数比29/41。1个合成波形的周期等于蓝色波形的29个周期，即绿色波形的49个周期，周期太长了，非常接近于噪音了，所以说它是非常不和谐的。

下面，我们来比较纯律、五度相生律、12平均律的大3度的合成波形，判断其和谐的程度。从图中看到纯律大3度与基音的频率最简整数比为4/5，是比较和谐的。12平均律大3度与基音的频率最简整数比为23/29，和谐程度次之。五度相生律大3度与基音的频率最简整数比为64/81，和谐程度更次之。

但是这里只是比较了大3度的情况。其他音程的和谐程度，例如纯4度和纯5度，则有可能12平均律比五度相生律差一些。

还有一点需要说明的是，上面合成波形各个图，都是假设合成前的两个音的波形起始相位都是0。如果它们的起始相位不同，合成波形的形状将有很大的变化。好在人类的听觉对于相位差并不敏感，波形形状尽管差异很大，我们听起来却一模一样。所以我做了这样的一个简化，并不影响讨论的结果。

另外，合成前的两个波形的振幅如果不同，对于合成波形的形状是有影响的，而且对于和谐程度也是有影响的。振幅的差异越大，我们听起来就越不容易感觉到它们的不和谐。我们会被振幅大的波形所吸引，而容忍或忽略振幅较小的波形带来的不和谐。

以往在音乐理论上我们只是告诉学生哪些音程是和谐的，哪些是不和谐的，好像非此即彼。本文的贡献在于指出音程和谐的物理本质的同时，对和谐程度进行了分类，认识到它从“绝对和谐”、“完全和谐”、“比较和谐”到“不和谐”、“非常不和谐”具有一个逐渐过渡的系列。

 

另外，我们对于3种主要音律的音程和谐程度的比较和分析也是有积极意义的。

我从物理学的角度指出12平均律的纯4度和纯5度音程和谐程度较差，可能有人会不同意我的观点，因为从来的音乐理论都认为纯4度和纯5度都是和谐的音程。反驳我的观点也会得到一些音乐家的听觉的支持。是的，我承认这些音乐家听觉判断是正确的。这不是矛盾吗？问题出在哪里呢？因为除了物理学的分析，我们还必须考虑生物学的因素，而这点正是本文的软肋。

人类的耳朵并不是频率计，能精确地测出声音的频率。把相邻两个半音的距离分成100个“音分”，一个训练有素的音乐家能够分辨3音分的差异，一般人只能分辨14音分以上的差异，当然有的人听觉会更差一些。在人的听觉的分辨能力的范围之内，声音的频率有所变化，他是感觉不出来的。所以，在他的听觉分辨能力的范围之内，改变声音的频率，寻找一个更为简约的“最简整数比”，就能说明为什么一个在物理上不很和谐的声音而他听起来却很和谐。我不是一个生物学家，难以在理论上给出进一步的阐释，我想这大概和品茶饮酒见仁见智是一个道理吧。