一、教学目标

1.知识技能

（1）能运用二次函数的顶点式解决实际问题中的最大值问题，并能利用函数的图象与性质进行解题。

（2）理解函数图象顶点、端点与最值的关系

（3）掌握顶点的横坐标不在自变量取值范围内的二次函数最值的图象解法。

2.过程方法

（1）通过对生活实际问题的研究，体会数学知识的现实意义，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题中的最值问题。

（2）通过对二次函数最值的训练，渗透转化的数学思想；通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，培养数形结合思想，函数思想，分类讨论思想。

3.情感态度

（1）感受数学来源于生活，并应用于生活实际；

（2）通过同学之间的合作与交流，让学生积累经验，发展学习动力。

二、教学重点

1、实际问题中自变量取值范围的确定；

2、对函数图象的端点、顶点与最值关系的理解与应用。

三、教学难点

对称轴不在自变量取值范围内的二次函数的最值的求法。

四、教学环节

（一）复习回顾，巩固要点

已知二次函数 ，当x=      时,函数有最    值，

最    值为        .

 

 

（二）设置条件，平稳过渡

若自变量的取值范围有具体的限制呢？

已知二次函数 ，试问：

若－4≤x≤1，该函数的最大值、最小值分别为（   ）、（    ）。

又若-1≤x≤1，该函数的最大值、最小值分别为（   ）、（    ）。

（三）归纳总结，理论升华

（1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取最大值或最小值。

（2）如果自变量的取值范围不是全体实数，要根据具体范围加以分析，结合函数图象的同时利用函数的增减性分析题意，求出函数的最大值或最小值。

（3）当给出了 一般形式的二次函数后，我们常常通过配方化成顶点式 ，再来求最值问题。

（四）学以致用，激发兴趣

心理学家发现，初中生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分）之间满足函数关系： （0≤x≤30）。

y值越大，表示接受能力越强．

（1）当x取范围为                  时，学生接受能力逐步增加；

当x取范围为                  时，学生接受能力逐步下降。

（2）在第     分钟时，学生的接受能力最强，最强为          。

 

例1.现在要用长为6米的铝合金制成如图窗框，请问窗框的长、宽各为多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？

分析：设窗框的宽为x米，则长为( )米，又令窗户的透光面积为y平方米，可得： ,即本题就是求二次函数的最值问题，由于本题是一道具有实际问题的函数题，应考虑自变量的取值范围，并在自变量的取值范围内求出二次函数的最值问题。

 

图1

例2（2018年福建省中考数学试题）.如图2，在足够大的空地上有一段长为a的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏。

（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；

（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值。

分析：设AD的长为x米，则AB的长为 米，结合方程的思想求出AD的长，同时，借助函数思想和分类讨论思想解决面积的最大值。

图2

 

 

 

（五）总结反思

指导学生对本节课进行总结，强调运用二次函数的性质求实际问题最值，需注意什么?

1．如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取最大值或最小值。

2．如果自变量的取值范围不是全体实数，根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围，再根据具体范围加以分析，结合函数图象的同时利用函数的增减性分析题意，求出函数的最大值或最小值。

 

（六）作业布置

1.必做题：P20练习2和3

2.思考题：某公司从第1年到第x年的营业收入累计为y万元，且y=6x²+1．

（1）问该公司从第1年到第4年的营业收入累计为多少万元？

（2）该公司平均年支出z（万元）与营业年数x（年）的函数关系式为z=kx+b（k，b为常数，k≠0），若营业1年支出16万元，营业3年的平均年支出为24万元．

求k与b的值；

设该公司营业以来获得的总利润为W万元，在营业期间，若该公司的平均年支出不多于68万元，试求W的最大值．（总利润=总收入﹣总支出）

 

（七）当堂检测

1．已知二次函数的图象如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是(    ).

A．有最小值0，有最大值3。        B．有最小值－1，有最大值0。

C．有最小值－1，有最大值3。       D．有最小值－1，无最大值。

2. 已知二次函数
，自变量x的取值范围为0≤x≤2，则函数y的最小值是_____，最大值是_____．

3.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。

(1)求S与x的数关系式及自变量的取值范围；

(2) 若墙的最大可用长度为8米，则当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？