内角和大于180度的三角形存在吗？

    人们深知欧几里得的突出贡献，但“过直线外一点恰好可以画出一条和已知直线平行的直线”在欧氏几何中这一鲜有人怀疑的公设，其证明却难倒了无数数学家。罗巴切夫斯基另辟蹊径，用反证法说明了一公设并不可证，这是一个全新的，也是与传统思路完全相反的探索途径，非欧几何是人类认识史上一个富有造性的伟大成果，它的创立，不公带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类的时空观念的变革都产生了深远的影响。

    我们已经知道这样两个结论：“两点之间，线段最短”，三角形的内角和是180度”但有一种几何学却认为：“两点之间的最短距离是一段曲线”，“三角形的内角和大于180度”，感到奇怪吗？如果我们是指平面上的两点以及平面上的三角形，那么确实是奇怪的。但如果我们所考虑的不是在平面上而是在球面上的情况，这种想法就有意义了。

    如果我们用过球心的一个平面去切这个球，那么平面与球就相交出一个圆，这个圆称为大圆。球面上过两点的大圆的弧可以用以下的办法直观地显示出来：在地球仪上拉紧过两点的一条细线，这条细线即可看作大圆的弧。实际上，轮船和飞机驾驶员都知道，地球（近似于球体）表面上两点之间的距离是经过球面上这两点的大圆的一部分。

    从大圆这一概念出发，我们有这样一个惊人的结论：球面上一个三角形的内角和大于180度。我们从图上所示的三角形可以看到这一点。

    假设这个球体是地球。三角形的底边AB在赤道上，图中与赤道相交的两条线AC，BC是经线，它们相交于北极，从而构成三角形ABC，因为球面角是由形成该角的两条弧所夹的角来度量的，而已知经线与赤道是垂直的，所以，这个三角形的内角和等于两个直角加上两条经线相交于北极所形成的角。因而这个三角形的内角和大于180度。

    非欧几何这一重要的数学发现在罗巴切地斯基提出后相当长的一段时间内，不但没能赢得社会的承认和赞誉，反而遭到种种歪曲、非议和攻击，但罗巴切夫斯基从未动摇过对新几何远大前途的坚定信念，直到在郁闷中死去。历史是公允的，1868年，长期无人问津的非欧几何开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美。

北京初中数学周老师的博客：http://blog.sina.com.cn/beijingstudy