我已经看完了《激光原理》，本来想要待融会贯通后再写些博文，今天发现《激光原理》里推导求解空腔V内的模式数中的一些内容阐述混沌，有微小的错误。下面我就把我的推导、分析过程写出来，供大家参考。
  下面求解空腔V内的模式数目。设空腔为V=ΔxΔyΔz的立方体，则沿三个坐标轴方向传播的波分别满足的驻波的条件为：

                        Δx=mλ/2,Δy=nλ/2,Δz=qλ/2

式中m、n、q为正整数。而波矢k的三个分量满足条件:

                        Kx=（∏/Δx）*m,Ky=（∏/Δy）*n,Kz=（∏/Δz）*q

每一组正整数m、n、q对应腔内一种模式（包含两个偏振）。
  如果在以Kx、Ky、Kz为轴的直角坐标系中，则每个模对应波矢空间的一点。每一个模式在三个坐标轴方向与相邻模的间隔为：

                        ΔKx=∏/Δx，ΔKy=∏/Δy，ΔKz=∏/Δz，

因此，每个模式在波矢空间占有一个体积元：

                        ΔKxΔKyΔKz=∏³/ΔxΔyΔz=∏³/V                                  (1)
                                            
  在k空间里，设k空间的体积用Vk表示，波矢绝对值处于|k|---|k|+d|k|的k空间的体积Vk的微分表达式为：

                        dVk=(1/8)*4∏|k|²*d|k|

  设模式数用P来表示，在此体积内的模式数的微分表达式为：

                        dP=(1/8)*4∏|k|²*d|k|*(V/∏³)
                  
  把|k|=2∏/λ=2∏ν/c和d|k|=(2∏/c)*dν代入上式，在考虑到对应同一个k有两种不同的偏振，上述模式数应乘2，于是得到微分表达式：

                        dP=(8∏ν²/c³)Vdν                                              （2）

  这就是我们所求的结果，就是模式和频率的函数关系，可以认为在频率ν处（即在以频率ν为中心的附近的单位频宽）的模式数为：(8∏ν²/c³)V，在ν附近的无穷小量dν宽度的微分表达式就是（2）。只要按需要进行积分就可以了。

  在大学教材《激光原理》里从（1）后阐述得很混沌，而且认为在频率ν附近频带dν内的模式数为：

                       P=（8∏ν²/c³)Vdν

按照严格的高等数学要求写成这样的形式是错误的，因为等号左边表示的是一个实数，而右边却是一个无穷小量（指dν→0时），这是不能相等的。另外只有把P换成dP才是正确的，因为dP表示的是对应频带dν的模式数P的增量的主部，也是无穷小量。严格的讲，频带dν内的模式数不为：
                      
                       P=（8∏ν²/c³)Vdν

欢迎大家一起来讨论，请在科技上给予批评和指正，多商讨。