试论基本初等函数的一致连续性

   韦　宁

（河北能源职业技术学院　　　　河北唐山　063004）

【摘要】一致连续函数的复合函数是一致连续的；一致连续函数的和差积商也是一致连续函数，但基本初等函数的一致连续性则不尽相同。

【关键词】一致连续　；基本初等函数　；复合函数；四则运算

1、复合函数的一致连续性

关于复合函数的一致连续性有如下命题：

定理1　若 于区间 ， 于区间 都是一致连续的，且 ，则 在区间 上一致连续。

证明：由于 在 上一致连续，任给 ，总存在 ，当 且 时，有 。　　　　　（1）

又由 在 上一致连续，故对上述的 ，总存在正数 ，当 且 时，有 。

联系（1）得：对任给的正数 ，存在 ，只要 ，便有 ，这就证明了 在 上一致连续。

2、一致连续函数的和、差、积、商的一致连续性

定理2·1　若 都在区间 上一致连续，则 也在 上一致连续。

证明：因 在区间 上一致连续，所以 ， ，使得对任何 ， 只要 和 ，都有 和 ，令 ，对任何 ， ，当 时， ，故 在 上也一致连续。同理可证 也在 上一致连续。

定理2·2　若函数 和 都在区间 上一致连续，且 为有限区间，则 也在 上一致连续。

证明：因 为有限区间且函数 和 都在区间 上一致连续，故 均在 上有界。设 ，因对任给正数 ，存在 ，当 ， ，且 时，有 ， ，从而

，故 在 上一致连续。

若 为无限区间，则 在 上不一定一致连续。例如，设 ，则 ， 在 上都一致连续，但 在 上不一致连续。

若函数 在区间 上一致连续且 在区间 上不一定一致连续。例如， 在 上一致连续，但 在 上不一致连续，故若 ， 都在区间 上一致连续且 ，函数 在区间 上未必一致连续。

3、基本初等函数的一致连续性

命题3·1　函数 在 上当 时一致连续，当 时不一致连续。

证明：当 时，利用一个显然成立的不等式 ， ，可导出： ， ，有 ，易见 在 上一致连续。

当 时，由 ，于是 ，取 充分大及 ， ，有 ，所以 在 上不一致连续。

命题3·2　函数 在 上非一致连续。

证明： ，设 ， ，从而在 构造两个数列 与 ，有 ，

但是， ，即函数 在 上非一致连续。

命题3·3　函数 在 上不一致连续，在 上一致连续。

证明：在 上， ，取 ，当 充分大时可使 ，而 ；在 ， ， ，有 ，即 在 上满足利普希茨条件，故 在 上一致连续。总之 在定义域内不一致连续。

定理3·4　若周期函数 且以 为其周期，则函数 在 上一致连续。

证明：因 ，故 在 上一致连续。于是 ， ，使得 ，有 。

对 ，由 的周期性必 以及 ，使得 ，此时有 ，于是

，从而 在 上一致连续。

命题3·5　正弦函数 与余弦函数 均在 上一致连续。

命题3·6　正切函数 与余切函数 均在 上非一致连续。

证明：在 上， ，取 ，当 时，有 ，但

，故正切函数 在 上非一致连续。同理可证余切函数 在 上非一致连续。

定理3·7　若单调有界函数 在有穷或无穷的区间 上是连续的，则此函数在区间 上是一致连续的。限于篇幅，略去证明。

命题3·8　反正弦函数 与反余弦函数 均在 是一致连续。反正切函数 与反余切函数 均在 上一致连续。

参考文献：

【1】华东师范大学数学系·数学分析［M］，上海，高等教育出版社，1991；

【2】刘广云，数学分析选讲［M］，哈尔滨，黑龙江教育出版社，2000；

【3】裘兆泰，数学分析学习指导［M］，北京，科学出版社，2003。

作者简介：韦宁，1961年生，男，大学，河北能源职业技术学院数学副教授。多年从事数学教学与研究工作。

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