函数在一点的导数值不能决定函数的单调性

河北能源学院   韦宁

若函数 在区间 可导，则由拉格朗日微分中值定理可知：当导函数 时， 在 单调增加；当导函数 时， 在 单调减少；这给判断在区间可导的函数的单调性带来了很大方便。由于可导是点概念，有的函数仅在一点可导，如果出现这种情况，能否由导函数在可导点的导数值的符号来决定函数在包含该点区间内的点调性呢？有下面的论述：

1． 在区间 可导， 且 （或 ），不能得到 在 的单调性；

例1 讨论函数

（1）在 点是否可导？

（2）在 点的任何邻域内函数是否单调？

解：（1）由于  = =

故 在 可导，且 ，从而

（2）由于对任何自然数 ，总有 ， ，而 是集合 和 的聚点，故任取 点的邻域 ， 在 内符号不定，从而 在 点的任何邻域 内不单调。

2. 仅在区间 内的一点 处可导，且 (或 )，不能得到 在 的单调性.

例2，讨论函数 在含有原点的任何邻域内的单调性，(其中 ).

解：由于 = ,故 ，又由于 仅在 处可导，从而 仅在 处可导。

  取r为有理数，s为无理数，比较 和 ，只要 ,则 故 在含有原点的任何邻域内不单调。

其实从上面的论述可知 是一个在 无单调区间的函数。

  综合1,2可以得到函数在一点的导数值的符号不能决定函数在包含该点的任何区间的单调性，这也充分说明了导数的点概念特性。

参考文献：华东师范大学数学系《数学分析》上册，1991，3月，2版。高等教育出版社