导函数极限定理之解析

 

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（河北能源职业技术学院  河北唐山063004）

 

摘    要：本文给出了导函数中的导数极限定理及导函数的两个重要特性.即导函数没有第一类间断点、导函数具有介值性,并举例说明如何灵活地运用它们解决具体问题。

关键词：导数；连续；间断点；介值定理；中值定理

 

Abstract:：

In this article,derivative limit theorem and two important features of derived function,namely,there is not discontinuous point of the first kind and there is intermediate value feature.With special examples,this articl explains how to solve geometrical problems skillfully with the help of them.

 

求导是对函数的一种高级运算。一个函数经过求导运算后，会有许多独特的性质。本文将对其性质进行讨论，并通过例题解析其应用。

定理：（导数极限定理）若函数 满足下列条件：

1）在区间 连续

2）在开区间 及 内可导，

3）   (有限)，

则 在点 可导，且     即          

分析：欲证    在点 可导，只需证在 的左右导数存在且都等于 。我们先证          

证：对任意 ，函数 在区间 上满足拉格朗日（Lagrange）中值定理的条件

则有             



因为              且当 时，

所以          

即

同理可证   

所以 与 都存在，且

因此 在点 可导，且     证毕.

值得指出的是：定理中的条件是充分而非必要的。

 

如     

   当 时   

   当 时       

 

   因此

                                                                  

 

显然         与    都不存在

从而        也不存在

但是        .

由此可见，导函数在点 的单侧极限虽然不存在，但函数在点 的单侧导数可能存在；导函数在点 的极限不存在，而函数在点 可能是可导的。

函数的间断点有两类：第一类间断点，是函数在该点左右极限都存在；第二类间断点，是函数在该点至少有一侧极限不存在。

由导数极限定理可推知，在区间 上的导函数 ，它在 上的每一点是连续点，或者是第二类间断点，这是导数一个非常重要的特性。下面的性质1对此进行说明。

性质１：设 在区间 上可导，则 在 上不存在第一类间断点。

分析  ∈ 只需证若 不是 的第二类间断点，则必是 的连续点。

证：设 ∈ 不是 的第二类间断点，则 在 的左右极限都存在。

不妨设          ，       

以下证明 在 连续，只需证

因为 在 上可导，且由导数与左右导数的关系及中值定理得：

 

 

从而    ，即 在 连续.      证毕.

闭区间上的连续函数有非常好的性质，介值定理就是其中之一，但定理中连续这个条件是非常重要的。而导函数则不需要连续这个条件，同样具有类似的介值性。

性质２    设 在 上可导，且

则 , )必存在 使

证：只证 的情况

设 ，由已知 在 上可导得

在 上连续、可导，从而存在最小值   且 ， 

 

 

 

，

 

 

 

由       及极限的保号性得

，当 时，       即

所以  不是 在 上的最小值。

同理  由    得 也不是 在 上的最小值。

从而   使

由费尔马定理有 ，  即        证毕.

推论   设 在 上可导，且 ，则必 使得 .

以下举例说明这些性质在解题中的应用。

例１   设连续函数 满足

，若 ,若 。

求证   在 处可导。

分析   要研究 在 处是否可导，只要研究 是否存在且相等。

证 当 时，   ，而   ，由此推出

则    ，于是由导数极限定理的推证可知

 

同理  当 时， ，  则  当 时，   

因而 

  ∴  

          ∴ 在 处可导.   证毕。

例２   判断    在  [ 0，2 ] 是否存在原函数。

解   因为 是 的第一类间断点，若存在［０，２］上的函数 ，使

则与性质１矛盾。所以 在［０，２］上不存在原函数。

例３  设 在 有界且二阶可导，则 ,使

证  由性质２推论，只须证明存在两点 ，使 即可。用反证法.

假设 都有 或 （只证 的情况， 的情况同理可证）。

因为    有

所以  在 严格增加，从而 最多有一个零点。

  由中值定理得：

时，上式右端趋于无穷，与 在 有界矛盾。所以，结论成立。

例４   设 在 上连续，在 上有二阶导数，且

求证   存在 ,使

证   

       

这样有

 

            将上两式相加，并整理得到

 

因为

从而 或 与 异号，

若  ，结论成立；

若 与 异号，由导数的介值定理知，存在 ,使  故总有结论成立。

 

参考文献

［１］刘广云．数学分析方法选讲［Ｍ］．哈尔滨：黑龙江教育出版社，1993．

［２］华东师大数学系编．数学分析（上册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，1991．

［３］周忠群．数学分析方法选讲［Ｍ］．西南师范大学出版社，1990．

 

 

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