有关类比推理一个例子与证明
一、引子
数学家一般多是睿智的，我记得曾经读过这样一条轶闻：在我国科学家代表团前去参加世界大会的飞机上，当时，主要有均已作古的华罗庚、钱三强、赵九章等我国老一辈科学家。一位前去参加大会的历史学家，即兴给数学家华罗庚出了一幅上联“三强，赵韩魏”。这幅上联，即嵌含着物理学家钱三强的名字，又涉及到中国古代战国时期的一段历史，符合出联者身份；华罗庚稍加思索，很快就对出“九章，勾股玄”。此下联对得很巧妙，既嵌入了空间物理学家赵九章的名字，用“勾股玄”这个数学概念，表明了对者的身份。一般说来，数学家是靠逻辑思维和推理的。但也不尽然，作为学者不仅要有严谨的科学态度，而且也需要深厚的文学功底。本文着重想谈数学中的推理和证明，以此作为文章引子，目的是想让枯燥的证明增加几分活泼。
二、推理与证明
推理是人们思维活动的过程，主要是根据一个或几个已知的判断来推定一个新的判断的思维过程。一般数学中的各种猜想，如大家熟知的哥德巴赫猜想、费马猜想、地图的“四色”猜想等等，就源于推理。这些猜想主要应用归纳推理发现新的事实，推得新的结论，不断促进数学科学发展。有些猜想甚至让数学家耗费了毕生心血。哥德巴赫猜想，就是如此。我国数学家陈景润为其奋斗终生，也只是刚刚到了解决它的边缘，最终未能完成；而有些猜想后来被人证明是错的，如费马猜想就被欧拉证明是错的。不论猜想是对是错，都会促进数学科学向前发展。
一般猜想是建立在推理上的，初步划分推理有合情推理和演绎推，而合情推理又有归纳推理和类比推理。本文侧重于合情推理中的类比推理。因为合情推理，是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后以猜想形式得出结论。在数学研究中，能够帮助数学家预测和发现新的定理或结论。但这也只是能是猜想而已，是对是错，是需要经过严格的证明的。
三、一个类比推理的例子
大家都知道，学过《平面几何》后，就要继续学习《立体几何》了。人们常常根据平面几何中的定理，类比推广到立体几何中。有这样一个例子，从平面直角三角形勾股定理，“斜边的平方等于两条直角边的平方和”，直接推测出三个两两垂直的平面和一个斜三角形平面构成四面体（示如图）的面积关系定理，“四面体斜面的面积的平方等于三个直角面的面积平方和”。
先给出如下证明：
设三个两两垂直的直三角形平面的边分别为：a ,b ,c ; 构成斜平面三角形的三条边分别为：A , B
,C。
根据勾股定理有构成四面体斜面的三条边分别为：
A2=a2+c2 (1)
；B2=a2+b2
(2) ；
C2=b2+c2
(3)
再依据南宋数学家秦九昭所著《数书九章》（卷五）记载“问有沙田一段，有叁斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知田几何。以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积。”
此即为我国古代计算三角形面积公式： S={1/4[A2C2-（(A2+C2-B2)/2）2]}1/2。此公式等同于世称海伦公式的三角形面积计算公式。在证明此题时，也可以应用海伦公式，但计算颇为复杂。若用《数书九章》中的“三斜求积”公式，则计算过程相对简单些。先将此公式经化简得：
S2=1/4{(A2C2-[(A2+C2-B2)/2)]2 }
=A2C2/4-[(A2+C2-B2)(
A2+C2-B2)/16]
=A2C2/4-[(A4+B4+C4+2A2C2-2A2B2-2B2C2)/16]
=(2A2C2+2A2B2+2B2C2-A4-B4-C4)/16，
再将式（1），（2），（3）代入上式，计算后得：
S2=(a2c2+a2b2+c2b2)/4
又，根据已知条件，知构成四面体的三个直角形面积平方和，当三条直角边分别为a、b、c时
∵S12=a2c2/4，S22=b2c2/4，S32=a2b2/4
∴S12+ S22+
S32=（
a2c2 +
a2b2）+
b2c2）/4
∴S2= S12+
S22+
S32
证毕。
http://s16/middle/43c79a1fh93706631be3f&690
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(2010-10-25 20:46:59) 
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