(Centrality)中心性和中心性在带权网络上的推广

　　这两天从基础问题着手开始了解网络相关知识，百度的空间与Word的内容衔接真是太烂了，只能发链接了。链接位于hotmail的文档共享中。中心性的四种度量在链接中已有描述，下面只说在有权网络上的推广。

　　中心性度量在有权网络上的推广

Du00　du00cs@gmail.com　2011.4.16

声明：英语以及专业水平不是一般地有限，翻译得不好随便喷，仅供个人参考。

　　无权网络中心性有三种：度中心性，紧密度中心性和介数中心性。

　　无权网络　有连接的相邻结点的数目，结点i的度k_i描述为：

http://s10/middle/439371b54c5f34df193c9&690－ Node centrality in weighted networks: Generalizing degree and shortest pat" TITLE="Centrality　中心性 － Node centrality in weighted networks: Generalizing degree and shortest pat" />

　　其中，i是中心结点，j表示所有其它结点，x是邻接矩阵，x_ij = 1当且仅当结点i, j有边相连。

　有权网络　与结点相连接边的强度之和，也被看作是点的强度：

http://s1/middle/439371b54c5f34df24740&690－ Node centrality in weighted networks: Generalizing degree and shortest pat" TITLE="Centrality　中心性 － Node centrality in weighted networks: Generalizing degree and shortest pat" />

　　其中，w是权重邻接矩阵，i,j之间有边相连时w_ij大于0，且表示权值。

　　结合结点强度与度　为了结合度和强度这两种反映网络的不同方式，引入了：

http://s6/middle/439371b54c5f34e07ee15&690－ Node centrality in weighted networks: Generalizing degree and shortest pat" TITLE="Centrality　中心性 － Node centrality in weighted networks: Generalizing degree and shortest pat" />

无权网络

　　紧密度和介数都是基于最短路径的识别和路径长度的。最短路径可定义为：

http://s10/middle/439371b54c5f34e012a69&690－ Node centrality in weighted networks: Generalizing degree and shortest pat" TITLE="Centrality　中心性 － Node centrality in weighted networks: Generalizing degree and shortest pat" />

　　其中h是结点i到结点j的中间结点。

　　紧密中心度依赖于从一个结点出发到其它所有结点的最短路径长度，并被定义为总长度的倒数。介数依赖于识别最短路径，计算通过这一结点的最短路径数。

　　结点i的紧密中心度：

http://s11/middle/439371b54c5f34e01a72a&690－ Node centrality in weighted networks: Generalizing degree and shortest pat" TITLE="Centrality　中心性 － Node centrality in weighted networks: Generalizing degree and shortest pat" />

结点i的介数中心度：

http://s14/middle/439371b54c5f34e00be9d&690－ Node centrality in weighted networks: Generalizing degree and shortest pat" TITLE="Centrality　中心性 － Node centrality in weighted networks: Generalizing degree and shortest pat" />
g_jk是0-1网络（就是无权网络，所有边权为1）的最短路径的数目，g_jk(i)是其中通过结点i的最短路径的数目。

有权网络

　　边权代表了结点之间的关系强度，强度越高，距离越近。这样重新定义最短路径为：

http://s5/middle/439371b54c5f34e06b3f4&690－ Node centrality in weighted networks: Generalizing degree and shortest pat" TITLE="Centrality　中心性 － Node centrality in weighted networks: Generalizing degree and shortest pat" />

结合路径中结点数的最短路径　

http://s3/middle/439371b54c5f34e022012&690－ Node centrality in weighted networks: Generalizing degree and shortest pat" TITLE="Centrality　中心性 － Node centrality in weighted networks: Generalizing degree and shortest pat" />

　　α = 0时，上式与无权网络中的最短路径定义相一致；

　　0 < α < 1时，中间结点作用增强，倾向于去寻找更短的路径；

　　α > 1时，中间结点的作用削弱，倾向于寻找更长的路径。

　　将修改的最短路径方法应用到介数和紧密度中可分别定义：

http://s3/middle/439371b54c5f34e0907e2&690－ Node centrality in weighted networks: Generalizing degree and shortest pat" TITLE="Centrality　中心性 － Node centrality in weighted networks: Generalizing degree and shortest pat" />
http://s8/middle/439371b507a31ee343f37&690－ Node centrality in weighted networks: Generalizing degree and shortest pat" TITLE="Centrality　中心性 － Node centrality in weighted networks: Generalizing degree and shortest pat" />

　　Tore Opsahl, Filip Agneessens, John Skvoretz, 2010. Node centrality in weighted networks: Generalizing degree and shortest paths. Social Networks 32 (2010) 245-251