完美正方形

正方形，四四方方，简单匀称，是完美的几何图形之一，它有许多引人入胜的问题，例如，正方形或某些矩形可以分割成大小相同的小正方形，那么它能否分割成大小不同的若干个小正方形呢？这就是有名的“正方分割问题”，能够分割的这个正方形称为“完美正方形”，完美正方形最早是由莫伦提出．

对这一问题的研究，不少人倾注了大量的心血，取得了令人瞩目的成果．

首先我们从长方形的分割说起．

二十世纪三十年代，一个矩形的完美的正方分割（如图1，图中数字表示所在正方形的边长，下同），已成为熟知的事实．到了本世纪四十年代，人们又发现了另一个同样有名的矩形的正方分割，如图2．它们都是由九个规格不同的正方形所组成，为方便起见，我们称它们为九阶的．

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现已证明：低于九阶的矩形的正方分割不存在，并且，在九阶的矩形的正方分割中，只有这两种形式．因而图1、图2是两个最完美的矩形的正方分割．

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数学家们在当时是怎样想出上面这些分割的方法呢？他们也与我们遇到一个新问题时一样，总是通过不断地尝试，细致地分析，反复地构思，孜孜以求，锲而不舍，才达到成功的．比如，在初中的基础上，拟出一个图形，如图3，设它是一个矩形的正方分割．为便于分析，我们引进三个未知数，设其中的三个小正方形的边长分别为x、y、z．由此顺次推出其他正方形的边长为x+y，2x+y，y-z，y-2z，y-3z，2y-5z．

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因为图3是一个矩形，那么它的对边就应该相等，此时，x，y，z应满足下面的关系：

将这个方程组整理得：http://s5/mw690/001eFTNlgy6Z28qLTvua4&690．

若取Z=1，就有x=4，y=10．将它代入图3就得到图1的长为33、宽为32，且阶数为九的矩形的正方分割．

那么，正方形的正方分割是否存在呢？最初，众说纷纭，莫衷一是．直到本世纪三十年代末，德国的一位数学家发现了正方形的一种正方分割后，才算有了定论．

后来，人们的目光又投向了一个新的目标，寻求正方形的一种阶数最低的正方分割．

在这一征途上的攀登是艰难的．

数学家们一度花了很大精力都无任何结果，以至于1930年苏联著名数学家鲁金猜想，不可能把一个正方形分割成有限个大小不同的正方形．莫伦对此猜想提出了挑战，并提供了一个解决思路：如果同一个矩形有两个不同的正方形剖分，且其中一个剖分的每个正方形都不同于另一个剖分的每个正方形，那么，这两个剖分再添上两个正方形（它异于两个剖分中的任何一个正方形），便可构造出一个完美正方形．而在此之前，完美矩形已经有了比较丰富的成果．

1939年，斯普拉格按照莫伦的构想成功地构造出一个55阶的完美正方形，其边长为4205．

几个月后，阶数更小（28阶）、边长更短(1015)的完美正方形由剑桥大学三一学院的四位大学生构造出来．

1948年，威尔科克斯构造出24阶完美正方形，但其中含有一个完美矩形（此类正方形称为混完美正方形．完全由正方形构造成的正方形称为纯完美正方形）．一直到1978年，这个纪录才被打破．

1967年，威尔森构造成功25阶、26阶完美正方形．

1962年，荷兰特温特技术大学的杜伊维斯廷证明：不存在20阶以下的完美正方形．

1978年，杜伊维斯廷借助计算机技术，成功地构造出一个21阶的完美正方形，它是唯一的，且它不仅阶数最低，同时数字也更简单，此外构造上它也有许多优美的特点，比如2的某些次幂恰好位于一条对角线上等等．给出的21阶的正方分割是阶数最低的一种分割，因而，图4是最完美的正方形的正方分割．

杜伊维斯廷同时还证明了：低于21阶的完美正方形不存在．

1982年，杜伊维斯廷又证明了：不存在低于24阶的混完美正方形．

1992年，布卡姆和杜伊维斯廷给出了21~25阶全部207个纯完美正方形：

至此，完美正方形的讨论暂时画上一个句号．但数学家的研究并没有停止，他们又研究了不同大小正方形是否可以填充整个平面的问题，此外他们还将完美剖分的问题推广到莫比乌斯带、圆柱面、环面和克莱茵瓶上，也取得了许多有趣的成果．

妙用正方形的对称性解题

正方形是最完美的四边形，它具有平行四边形、矩形、菱形等特殊四边形的性质，其中正方形关于对角线所在的直线对称也是一个比较重要的性质．利用这一特征可以解决很多问题，现举例说明．

例1 如图1，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，那么BE和DE相等吗？为什么？

分析：正方形是轴对称图形，对角线AC所在直线是它的对称轴，因为点E在对称轴上，当正方形沿AC所在直线对折时，点B和点D重合，这样可以得到DE=BE．

解：DE=BE．理由：因为对角线AC所在的直线是正方形ABCD的一条对称轴，而点E在对称轴上点B与点D是关于AC的对称点，所以DE=BE．

例2 如图2，正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，试说明AP=EF．

解：连接PC．因为PE⊥BC，PF⊥CD，四边形ABCD是正方形，所以∠PEC=∠ECF=∠CFP=90°，所以四边形PECF为矩形．所以EF=PC．又正方形ABCD关于对角线BD对称．A与C为对称点，所以AP=EF．

例3如图3，在正方形ABCD中，∠DAF=25°，AF交对角线于点E，求∠BEC的度数．

分析：本题主要考查正方形的对称性及正方形对角线的特征．根据对称性可知∠ECD=∠EAD．因为∠BEC是△CDE的外角，只要再求出∠CDE即可使问题得解．

解：因为对角线BD所在的直线是正方形ABCD的一条对称轴，而点E在对称轴上，点A和点C关于BD对称．所以△AED和△CED关于BD对称．所以∠ECD=∠EAD=25°．又因为BD平分∠ADC，所以∠EDC=45°，所以∠BEC=∠ECD+∠CDE=25°+45°=70°．

例4如图4，在正方形ABCD中，E在BC上，P在BD上移动，试探索PE+PC的最小值与哪一条线段相等．

解：连接AP、AE．因为正方形ABCD关于对角线BD对称．所以PA=PC，PC+PE=PA+PC，易知当P在AE上时PA+PC最小，此时PA+PE有最小值，等于AE，因此PE+PC的最小值与线段AE相等．

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