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[转载]解析数论

(2022-03-14 16:54:09)
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分类: 知书识理,自圆其说
原文地址:解析数论作者:临近

    解析数论起源于素数分布哥德巴赫猜想华林问题以及格点问题的研究、解析数论的方法主要有复变积分法、圆法、筛法、指数和方法、特征和方法、密率等。

   

    分析方法在数论中的应用可以追溯到18世纪L.欧拉的时代。欧拉证明了,对实变数s>1有恒等式 (式中p取遍所有素数)成立,并且由此推出素数有无穷多个。欧拉恒等式是数论中最主要的定理之一。随后P.G.L.狄利克雷创立了研究数论问题的两个重要工具,即狄利克雷(剩余)特征标与狄利克雷L函数,奠定了解析数论的基础。

  解析数论是在初等数论无法解决的情况下发展起来的,因为,如果有了一个可以表达所有素数的素数普遍公式,一些由解析数论范围的内容,就自动转到初等数论的范围内。例如孪生素数猜想。以及哥德巴赫猜想。

  联系数论和复变函数论的桥梁是所谓的佩隆公式(Peron). 很多数论问题可以归结为某类求和函数的估计问题,而利用佩隆公式,就可以将求和函数的估计转变为都某类复变函数零点极点的分布情况的估计。 大多数数论问题最终都能归结为L函数的性质讨论。

  令π(x)表示不超过.x的素数的个数,关于π(x)的研究是素数论的中心问题,黎曼在数论中引入复变函数ζ(s),称为黎曼ζ函数(见数论),他对这个函数作了深入的研究,得到了许多重要结果。特别是 ,他建立了一个与z(s)的零点有关的表示π(x)的公式,因此研究素数分布问题的关键在于研究z(s)的性质特别是它的零点的性质。这样,黎曼开创了解析数论的一个新时期。黎曼提出一个猜想:z(s)的所有复零点都在直线Res=1/2上,这就是所谓黎曼猜想。它是尚未解决的最著名的数学问题之一。

  1896年,J.阿达马与C.J.dela瓦莱-普桑用解析方法同时并且相互独立地证明了素数定理即当x→∞时,π(x)~.x/lnx (这个问题最早由高斯提出),从此解析数论开始得到迅速发展。1949年,A.塞尔伯格与P.爱尔特希分别给出了对于素数定理的一个十分初等的分析证明,当然它是很复杂的。

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