论文            论素数出现概率

胡振武

（中国气象学会）(北京100081)

Email:zjjyhzw@2008.sina.com

摘要：本文认为素数出现概率不是0，而给出不同以往的素数出现概率的定理和证明。

关键词：素数个数 素数出现概率

中图分类：O156

MR(2000):11-268

MSC(2010):11A41

1.      引言

素数出现概率是在自然数一定范围（区间）内出现的素数个数与相应自然数个数的比率值。它不会是一个渐趋稳定的常数。当自然数确定时，它也是确定的；当自然数不确定时，它也是不确定的，它随着自然数大小的变化而变化。概率，有时称为频率，几率。

王元教授在《谈谈素数》中说：“素数的出现概率为零”，“如果  存在，我们就称它做素数的‘出现概率’。我们将证明：定理1 素数的出现概率为0，即=0.由于不超过 N 的复合数个数是N-π(N)-1,所以由定理1立即推出复合数的出现概率是1，即 =1，用数论的术语来说，就是‘几乎所有’的数都不是素数，而是复合数。”

这种说法是欠妥的。理由如下:(1)其表达式与“数论的术语”的说法是矛盾的，按照表达式就该说，所有的数都不是素数，所有的数都是复合数；按照“数论的术语”“ 几乎所有”来说，素数的出现概率就不能为0，复合数的出现概率也不能是1。（2）在概率论里，完全不可能出现的，其概率才是0.（如果有可能出现的事件而暂时未出现，其概率也不能作0，而要留空白，虚位以待。）而素数个数π（x）不仅出现，而且出现得很多，以至无穷多，王元教授已说：“已知素数的个数有无穷多，即π（N）→∞(当N→∞)”,所以素数出现概率绝对不是0.王元教授混淆了概率与极限的区别。（3）从表达式看，王元教授认为“由于1不是素数”而把1这个素数单位数排除在素数之外，也排除在合数之外，1成了一个不素不合的阴阳数。那么，在自然数中，有素数，有合数，还有1，三分天下有其“1”，如果对1计算出现概率，也不能是0，在概率论中，只要出现过1次，其概率就不会是0.（4） 是动态值，随着自然数N 的变化而变化。自然数从1到∞逐渐增大，  则由1到趋于0，接近0.所以素数出现比率 却会出现1（当N≤3时），而不会出现0（除非在某个不含素数的特定区间，即所谓的素数间隔区间）。（5）从1到N的自然数个数N由素数个数π(N)和合数个数N-π(N)构成，而且素数与合数是互相排斥的，非素则合，非合则素，故自然数出现概率P(N)是全概率，P(N)= =1,是素数出现概率P(π（N）)= 与合数出现概率 =P(N-π（N）)= 之和，即 = + =1。 

 与是此消彼长的互补关系。合数出现比率 也是动态值，随着自然数N 的变化而变化。自然数从1到∞逐渐增大， 则由0到趋于1，接近1，所以合数出现比率却会出现0（当N≤3时），而不会出现1.

    对于极限运算，有不少数学家是知其然不知其所以然，知道熟练运算，却不知道为什么这么运算；又有不少数学家例如王元教授，是不用时还明白，一用就拜拜，忘记了或迷糊了，因为他明知“已知素数的个数有无穷多，即π（N）→∞(当N→∞)”，也曾有“

再来看王元教授证明定理1之前所证明的引理。

在引理1,，即素数个数π(N)的冗长的表达式中，王元教授以“由于1不是素数”为由，把1排除在素数个数之外，人为地“还需从N中减去1”。

在“引理2，Φ（n）= , 其中，表示p取n的所有不同素因数时，相应的的连乘积。”Φ（n）是欧拉（Euler）函数，表示不超过n而又与n互素的自然数个数，它不包括n的素因数及其倍数的个数，而包括与n互素的自然数（既有素数也有合数）的个数，其中包括1。欧拉是把1作为素数的。而π(n)是指n范围内的所有素数的个数。

在引理3，是证明级数 发散。

在“引理4  无穷乘积 =0，此处p通过所有的素数。”王元教授作了推导：“由于1＞＞0，所以=α＞0，从而 

.”这是对的，但以下推导就欠妥了。“记,这儿

,所以由引理3的证明即得 ＞ ＞ ＞ ＞

,即。这是不可能的，因此引理成立。”王元教授在此混淆了p和pi的区别，混淆了pi和n的区别，混淆了解析函数和整数零头的区别，在推导中偷换概念，推导是不严密的，此种推导可说是误导。前面的 ，由于1＞＞0，

故1＞=α＞0，从而 ＞1，随着α→0， →∞；而后面的  是零头， 在大多情况下是0，因为要取整数，若a=1，则 =1,若α＞1，则 ＜1，=0.其实，判断无穷乘积 =0是否成立，只要看其中乘数是否有零就可以了。只有当p=1时才可能有（1-1）=0的乘数。如果把1排除在素数p之外，的乘积永远不会是0. 这常识，王元教授不会不知道，但一推导，二误导，就把王元教授自己搞迷糊了。

因此，王元教授的证明结论：“当N→∞时，由引理4即得=0”是欠妥的。王元教授在“定理证完”后又有一个尾巴：“注意：由引理4即可推知π（N)→∞(当N→∞)。事实上，如果π（N）有限，那末只有有限项相乘，所以不能是零。”这就说明，他自己也明知以引理4为据的证明是不牢靠的。

素数出现概率不同于投掷硬币出现正反面概率，虽然全概率相同都是1，但分概率不同。随着投掷次数的不断增加，出现正反面的次数由不规则状态渐趋于平均状态，比值都渐趋于一个常数，即向二分之一靠拢，当投掷次数是偶数时，就可能出现正反面次数相等，正反面出现概率相等，都是二分之一。素数出现概率则是反映素数在自然数不同范围时的分布状况，随着自然数的不断增加，素数个数也不断增加，以至无穷多，但其与自然数个数的比值却越来越小，而合数与自然数个数的比值则越来越大，向相反的两极变化，而不会在某个常数左右摆动，不会有持久的稳定性，素数出现比率由1趋于0，但不等于0；合数出现比率则由0趋于1，但不等于1.

本文给出不同以往的素数出现概率的定理和证明。

2.素数出现概率

定理  P(π（x）) =ε→0 (当x→∞), 式中，P(π（x）)是素数出现概率，P(π（x）)=(当x→∞),  x是自然数，π（x）是自然数中的素数个数，ε是无穷小量，当x→∞时趋于0，ε→0。

证明  当x≤3时，π（x）= x, 素数出现比率=1.

当x＞3时，令π（x）=  r, 有r＜x, 则素数出现比率 ==ε＜1.

当x→∞时，π（x）=  r → ∞ , 仍有r＜x, 素数出现比率 ==ε＜1.在

 中，x比r增大更快，更迅速达到无穷大，x是比r高阶的无穷大量，有 

= =ε→0。故有P(π（x）) =ε→0 (当x→∞)。□

3.  合数出现概率

推论  =1-ε(当x→∞时，ε→0), 式中，  是合数出现概率， =P(x-π（x）)=P(x)-P(π（x）)= - (当x→∞), x是自然数，P(x)是自然数出现概率，P(x)= =1,π（x）是自然数中的素数个数，P(π（x）) 是素数出现概率，ε是无穷小量，当x→∞时趋于0，ε→0。□

参考文献

【1】    楼世拓，邬冬华，黎曼猜想，沈阳，辽宁教育出版社，1987，中国

【2】    陈景润，邵品琮，哥德巴赫猜想，沈阳，辽宁教育出版社，1987，中国

【3】    王元，谈谈素数，上海，教育出版社，1983，中国

【4】    胡振武，费马大定理证明之研究，2007，中国

【5】    胡振武，哥德巴赫猜想证明，待正式发表，2011，中国

【6】    胡振武，黎曼猜想证明，待正式发表，2011，中国

【7】    胡振武，黎曼猜想存在性证明，待正式发表，2011，中国

【8】    胡振武，哥德巴赫猜想证明之拓展研究，待正式出版，2011，中国

【9】    胡振武，论素数个数π(χ)，待正式发表，2012，中国