《直线与圆的位置关系》说案

（必修2第二章第二节“直线与圆的位置关系”第一课时）

九江市田家炳实验中学    陈华

一.学生状况分析

     在初中，学生已经直观的讨论过直线与圆的位置关系,前阶段又学习了直线方程和圆的方程。本节课主要以问题为载体，帮助学生复习、整理已有的知识结构，让学生利用已有的知识，探究直线与圆的位置关系的判断方法。通过学生参与问题的解决，让学生体验有关的数学思想， 培养“数形结合” 的意识。

二.教学任务分析

1、地位和作用    

 解析几何的本质是利用代数方法来研究几何问题,这节课我们就要用代数方法来研究直线与圆的位置关系.这样一方面可以巩固前阶段所学的知识,另一方面也显示了用代数方法研究几何问题的优越性, 用解析法研究直线与圆的位置关系是从初等数学到高等数学的开始，也为后面研究直线与圆锥曲线的位置关系打好基础，这节课内容起着承前启后的作用。

2、教学重点     

 能根据给定的直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系

3、教学难点  

 灵活运用“数形结合”思想来解决问题 

4、教学目标

知识目标：

(1) 能通过点到直线的距离公式和方程组的解判断直线与圆的位置关系.

（2）能够解决直线和圆的相关的问题.

 

能力目标

通过观察——类比——概括——抽象等思维过程，发展学生自主学习的能力；

情感德育目标：

激发学生学习数学的自主性和积极性，体验获取知识的乐趣；

 三、教学过程分析

本节课分为六个教学环节：复习引入、构建新知、例题讲解、拓展提高、应用演练、归纳小结

环节1：复习引入

1、平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？

平面几何中，直线与圆有三种位置关系：

（1）直线和圆有两个公共点，直线与圆相交；

（2）直线和圆只有一个公共点，直线与圆相切；

（3）直线和圆没有公共点，直线与圆相离．

两种方法，①根据定义②圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系。

 

 

反过来，直线与圆相交 ,直线与圆有两个公共点。

直线与圆相切 直线与圆有一个公共点

     直线与圆相离 ，直线与圆没有公共点

                                                                         

2、现在，如何用直线方程和圆的方程判断它们之间的位置关系？

先看以下问题，看看你能否从问题中总结来．

（设计意图：以问题为载体，帮助学生复习、整理已有的知识结构， 带着问题进入下一个环节，有效的调动学生的学习兴趣。）

 

环节2：构建新知

 

分析：根据初中判断直线与圆的位置关系的两种方法，我们可以利用d和r的大小关系或直线与圆的公共点的个数来判断它们的位置关系。

 

直线与圆的公共点的坐标即满足直线方程又满足圆的方程，把直线方程与圆的方程联立，

（设计意图：由较简单的问题导出这节课的内容，让学生利用已有的知识，探究用坐标法判断直线与圆的位置关系的方法, 一方面可以巩固前阶段所学的知识，另一方面也显示了用代数思想研究几何问题的优越性）

 

3、构建新知

回顾我们前面提出的问题：如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？

判断直线与圆的位置关系有两种方法：

几何法：根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系来判断．如果d< r ，直线与圆相交；

如果d= r ，直线与圆相切；如果d> r ，直线与圆相离．

代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的情况来判断．如果有两组实数解时，直线与圆相交；

有一组实数解时，直线与圆相切；无实数解时，直线与圆相离．

（设计意图：让学生通过独立的思考，概括出利用直线与圆的方程来判断它们位置关系的两种方法，可以自己把课堂上所学的零碎的知识点连成知识线,从而加深了学习的印象.）

 

环节3 例题讲解

 

分析：依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系；

 

 

分析 ： 根据直线l与圆C的方程组成的方程组解的情况来判断

 

 

 

这里是利用直线与圆的位置关系的性质来解题，已知直线与圆相切，可知圆心到直线的距离等于圆的半径，直线与圆有一个公共点。

 

O

2

x

y

 

结合图形，无论m为何值，点（0，2）的坐标恒满足直线方程，直线恒过这个定点，

m是直线的斜率，满足题目条件的直线就是图上的这两条直线,左边这条直线的方程

是 ,右边直线的方程为

 

 

（设计意图：例1让学生及时的巩固直线与圆位置关系的判断方法. 以期达到强化训练的目的，

求出交点的坐标目的在于认识到方程组解得意义。让学生体会出用何法解题更为方便。 例2让学生运用直线与圆的位置关系的性质解题 ）

 

环节4、拓展提高

 

C(2,4)

x

y

A

B

0

d

D

C(2,4)

x

y

A

B

0

N

 

另解：（1）因为l：y=a(x-1)+4 过定点N（1，4）                                              

N与圆心C（2，4）相距为1

显然N在圆C内部，故直线l与圆C恒相交                                                   

（2）在y=ax+4-a中,a为斜率，当a=0时，l过圆心 ，                                                

显然弦AB的最大值为直径的长，等于6                                                   

 

 

 

 (设计意图：对学生进行一题多解的训练，有利于提高思维的灵活性，在解决问题过程中，.

通过利用数形结合的思想，提升对知识的理解，提高分析问题，解决问题的能力。)

环节5、应用演练

练习1、

2、

（设计意图：课堂练习的目的在于及时巩固重点内容，使学生在课堂上就能掌握．

同时强调规范的书写和准确的运算，培养学生严谨认真的数学学习习惯．）

 

 

环节6、归纳小结                                           

1、直线与圆的位置关系的判断方法：

几何法：1、 确定圆的圆心坐标和半径r         代数法 ： 1、把直线方程带入圆的方程    

 

2、计算圆心到直线的距离d                      2、得到一元二次方程

          3、判断 d与圆半径r的大小关系                  3、求出△的值

d > r,直线与圆相离                              ，直线与圆相交 

d = r ,直线与圆相切                             ，直线与圆相切

d < r ,直线与圆相交                              ，直线与圆相离

（设计意图：通过小结，使学生对本节所学的知识系统化、条理化，进一步巩固知识，明确方法．）

作业：

 

                 3.已知⊙C：(x-1)2+(y-2) 2=2，P(2,-1)，过P作⊙C的切线，求切线方程 。                                         

（设计意图：，第1、2题是基础题，为了复习巩固这节课的内容， 第3题是弹性作业，为学有余力的学生提供发展的空间）

 

环节6、课后反思与点评：

    

   1、新的课标把直线和圆的位置关系作为独立的章节， 说明新课标对这节内容要求有所提高。

   2、判断直线与圆的位置关系为了防止计算量过大，一般采取几何的方法，但用方程思想解决几何问题

是解析几何的精髓，是以后处理圆锥曲线问题的通法，掌握好方程的方法有利于培养数形结合的思想。

   3、直线与圆位置关系的相关问题如：弦长的求法、圆的切线方程求法以后还要补充。

4、用代数法判断直线与圆的位置关系， 不必求出方程组的解，利用根的判别式即可。