《3.1.1导数与函数的单调性》教学设计

西安市西电中学   赵泽林

一、指导思想与理论依据

高中数学课程倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。注重提高学生的数学思维能力，学生在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程。高中数学课程强调本质，注意适度形式化，但又不只限于形式化的表达，强调对数学本质的认识，要讲逻辑推理，更要讲道理，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。本节课通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法——特殊到一般的思想、数形结合的思想、函数与方程的思想、算法的思想，使学生认识到导数比单调性更加精确地反映函数的变化趋势，自主探究过程过渡自然，拉近了学生与研究问题的距离，有利于发挥学生思维的主动性，突破教学难点。

新课程改革注意突出算法的思想，本节课不仅复习了函数单调性证明的解题步骤，而且抽象概括了利用导数判断函数单调性的步骤，使学生领悟不同数学知识间的内在联系，认识数学是一个有机整体。使学生经历模仿、探索、归纳等过程，从而体会算法思想的本质。

二、教学背景

1、学情分析

    ①学生的基础

学生在高一已经学习了简单基本初等函数的图像及其性质，之后在选修2-2第二章 变化率与导数第二节课学习了导函数的概念，引导学生理解掌握底数对指数函数的影响，理解指数函数的图象性质，从中发现底数对指数函数的影响，所以对于已经熟悉指数函数概念和图象性质的学生来说，学习本节课的难度不大。

②学生的能力

学生通过学习必修一《函数》，学过了画图的基本作图方法是作图法，首先求出几个点的坐标，然后将其逐个连接起来，就得到函数的图像。虽然用这样得到的图像比较粗糙，某些弯曲情形往往得不到准确地反映，但学生还是能够很好的借助函数图象利用数形结合思想解题。对解决数学问题有一定的能力，并产生不同的学习状态，通过教师启发式引导，学生自主探究完成本节课的学习。

③学生的心理认知

本节课要求学生的认知水平从形象向抽象、由特殊向一般过渡，思维能力不断提高，高二学生的自主意识、主动学习的愿望与能力都比高一增强了很多，重点班学生富有激情、思维活跃，好奇心、好胜心、进取心都较强。

④学法分析

学生结合实例，借助几何直观主动探究并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。在对比中进行积极思考，在发现中得到学习的乐趣，有利于提高学生仔细观察问题，不断探究问题的能力，培养良好的习惯。

2、教材分析

    教材首先给出了三个一次函数的例子，结合图像，回顾它们的单调性，通过比较导函数的值与函数单调性的关系，让学生初步领会导函数符号与函数单调性的关系。在此基础上又给出了两个指数函数、两个对数函数的例子，使学生对函数的单调性和导函数的正负之间的关系获得丰富的感性认识，在此基础上抽象概括出导函数的符号与函数的单调性之间的关系。通过例题的教学，让学生领会领用导数求函数的单调区间的方法和步骤，并指出：函数的单调性决定了函数图像的大致形状，让学生思考如何利用导数来画函数的简图。

三、教学目标

1．知识与技能

能利用导数判断函数的单调性，求不超过三次的多项式函数的单调区间；掌握求函数单调区间的方法和步骤；能由导数信息绘制函数的大致图像。

2．过程与方法

通过利用导数研究函数的单调区间的探究过程，掌握利用导数研究函数性质的方法。总结求函数单调区间的一般步骤，认识到导数在研究函数性质中的作用。培养学生细心观察、认真分析、严密推导的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从一般到特殊，从感性到理性的认知过程。

3．情感、态度与价值观

通过用导数方法研究函数性质的教学过程，让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯，认识不同数学知识之间的内在联系，以及导数的应用价值。

四、重点与难点

重点：掌握导函数的正负与函数的增减性的关系，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

难点：由基本初等函数的图像，抽象出导函数的符号与函数的单调性的关系，理解导函数等于零对函数单调性的影响。

五、教学方法

发现式、启发式教学方法，多媒体课件等辅助手段。

六、教学过程

【创设情境  复习回顾】

问题1：函数单调性的定义怎样描述的?

问题2：用定义证明函数的单调性的一般步骤？

1、一般地，对于给定区间D上的函数 ，若对于属于区间D的任意两个自变量的值 ， ，

当 时，有

若 ，则 在这个区间上是增函数；

若 ，则 在这个区间上是减函数.

2．用定义证明函数的单调性的一般步骤：

(1)任取x1、x2∈D，且x1< x2.

(2)作差f(x1)－f(x2) (或作商)

(3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式)

(4)定号(判断差f(x1)－f(x2)的正负)(作差与０比较；作商与1比较)

(5)结论

我们除了用单调性的定义来判断或证明函数的单调性，还可以借助函数的图像，研究函数的单调性。

比如：函数 与 ，观察以上简单初等函数的图象, 简述各函数的单调性。

对于研究简单基本初等函数的单调性，同学们应该不成问题。若是将简单基本初等函数做一些加减运算得到的函数，同学们打算怎样判断其单调性呢？

引例：如何确定函数 在哪个区间内是增加的?哪个区间内是减少的?

[探索发现，尝试解决]

发现问题：单调性定义讨论函数单调性是根本，但有时十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时,如：

                                        f(x)=x³－6x²+9x-3

这就需要我们寻求一个新的方法。

引导探究：函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化的情况,而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系。于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？如果可以，该怎么用？

阅读教材P57   实例分析

[抽象概括·概念生成]

问题：请自己画出函数y=x²-4x+3的图像，并总结其单调性与导数有什么关系？

描点法，配方法

单增区间：(２，+∞).

单减区间：(－∞，２).

y

x

o

1

1

－1

再观察函数y=x2－4x＋3的图象：

总结: 该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负;

在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.

而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.

抽象概括：

如果在某个区间内，函数 的导数 ,则在这个区间上，函数 是增加的；

如果在某个区间内，函数 的导数 ,则在这个区间上，函数 是减少的；

如果在某个区间内恒有 ,则 为常数函数.

思考：

若函数 在R是一个可导函数，则“ 在R上恒成立”是 “ 在区间R内递增”的（    ）

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件   C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

答案：A

[知识应用·典例剖析]

例1:求函数 的递增区间与递减区间.

解：因为

又

令 ， ， 得 或 ，所以 在区间 和 上是单调递增的。

令 ， ， 得 ，所以 在区间 上是单调递减的。

综上， 的递增区间是 和 ；递减区间是 。

利用导数讨论函数单调的步骤:

(1)确定函数的定义域

(2)求导数

(3)解不等式 得 的单调递增区间;

解不等式 得 的单调递减区间.

从而我们可以画出函数的大致图象.

1

0

-3

3

1

y

x

[知识应用·拓展提高]

例2：已知导函数的下列信息：

 

 

 

 

 

试画出函数f(x)图象的大致形状。

A

B

x

y

o

2

3

[知识应用·高考链接]

例3:求函数 的单调区间.

解:函数的定义域是(-1,+∞),

令 ， ，因为 ，所以 得 ，所以 在区间 上是单调递增的。

令 ， ，因为 ，所以 ，得 ，所以 在区间 上是单调递减的。

故 的递增区间是 ； 的递减区间是 。

小结:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集。

[课堂练习]  教材P59  练习 1、2、

 

[课堂小结]

请同学们回顾本节课的学习内容，并尝试总结。

一、用导数判断函数单调性步骤

1.确定函数f(x)的定义域.

2.求出函数的导数.

3. 解不等式f´(x)>0,得函数单增区间;

   解不等式f´(x)<0,得函数单减区间.

二、应用导数判断函数图象

三、数学思想方法：

  1.特殊到一般的思想     2.数形结合的思想     3.函数与方程的思想     4.算法的思想

 

[布置作业]

必做题：教材P62   习题 3-1  A组  1

选做题：教材P62   习题 3-1  A组  2

 

七、板书设计

3.1.1导数与函数的单调性 1、导数与函数的单调性的关系：      例2：应用导数判断函数图象      课堂小结： 2、利用导数求函数的单调性的步骤：  高考链接：                      布置作业：     例1：                             课堂练习：

 

 

 

 

八、教学反思

在探究部分之前应复习一下导数的几何意义，对学生阅读教材自主探究会有帮助，特别是有利于学生发现导数与函数的单调性的关系，让学生从“学会”向“会学”转变，通过问题引导意识地为学生营造一个较自由的思维空间，使学生能主动去观察、猜想、发现、验证，积极动手、动口、动脑，使学生学知识的同时并能抽象概括得出结论。由于课前预习时间过长，在复习证明函数单调性的步骤部分讲的太多，联系的过多，其实我设计此环节的目的是让学生回忆必修3中学过的算法思想，以备总结利用导数求函数的单调性的步骤。课堂小结部分本来计划由学生完成，教师纠正、补充总结，由于时间关系，直接将这些省去了，以后还是要在实践上下功夫，敢于相信学生，让学生会学数学。