《指数函数图像性质的应用》教学设计

西安市西电中学   赵泽林

一、教材分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（北师大版）第三章第三节第三讲（3.3.2）《指数函数图像性质的应用》，是在学生学习了指数函数的概念及图象性质之后，基本掌握了指数函数图像性质的基础上设计的。

指数函数是高中数学的第一类重要的基本初等函数，本节课复习引入指数函数的概念，和指数函数的图像和性质，为了深化学生对指数函数的理解，并且较为全面的了解研究函数的方法，为以后在研究对数函数幂函数等其它函数打下基础，为此我在指数函数的图像性质的基本应用的基础上，又为学生设计了这节指数函数的图像性质的应用，借此将指数函数的图像性质的应用做以总结，并提炼出规律方法，以便在做题中灵活应用，让学生在做题中体验学习数学的快乐。

此外，日常生活中的细胞分裂，放射性物质衰变，贷款利率等，都是指数函数的知识，例如所以学习这一节具有很大的现实价值。

二、教学的重点

理解掌握底数对指数函数的影响，用它解决问题。

三、教学的难点

熟练利用指数函数的图象和性质解决问题。

四、教学目标

1、知识与技能：指数函数图象和性质的应用，培养学生的观察、分析、理解、归纳及应用能力。

2、过程与方法：理解掌握底数对指数函数单调性的影响，能利用指数函数的性质比较某些幂形数的大小,通过对指数函数图象性质的理解,会解简单的指数不等式，体会函数的单调性，会解决复合函数的问题，体会数形结合的思想，采用自主探究法，以引导发现组织教学，养成边做题，边总结的良好习惯。

3、情感、态度与价值观：引导学生由个别的具体事例抽象出一般性的结论，启发学生从事物之间的内部联系入手，抓住主要矛盾，从而培养学生的辨证唯物主义观点。使学生逐步养成严谨的学风，实事求是的科学态度和独立思考、勇于创新的精神。从特殊的具体事例出发归纳总结出一般性的结论的方法，有利于提高学生分析问题及概括总结的能力。使学生在学习中体会到发现的乐趣，激发学生学习数学的积极性。

五、学情分析

1、学生的基础

学生已经学习了指数函数的概念，引导学生理解掌握底数对指数函数的影响，理解指数函数的图象性质，从中发现底数对指数函数的影响，所以对于已经熟悉指数函数概念和图象性质的学生来说，学习本节课的难度不大。

2、学生的能力

学生通过学习必修一《函数》，对解决数学问题有一定的能力，并产生不同的学习状态，通过教师启发式引导，学生自主探究完成本节课的学习。

3、学生的心理认知

本节课要求学生的认知水平从形象向抽象、由特殊向一般过渡，思维能力不断提高，高一学生的自主意识、主动学习的愿望与能力都比初中增强了很多，重点班学生富有激情、思维活跃，好奇心、好胜心、进取心都较强。

4、学法分析

学生主动探究底数对指数函数的影响，在对比中进行积极思考，在发现中得到学习的乐趣，有利于提高学生仔细观察问题，不断探究问题的能力，培养良好的习惯。

六、教学过程

【创设情境  复习回顾】

问题一：指数函数的概念是什么？

问题一：函数 （ 或 ）的图像和性质是什么？（幻灯片显示）

图像
定义域
值域
过定点
单调性
取何值时
取何值

（让学生自己填表完成，用多媒体展示，做到师生互动，充分保障学生的主体地位）

【典例剖析  讨论学习】

【题型一】  幂的大小比较（幻灯片显示）

例1：比较下列各组数的大小

（1） （2） （3） （4）

【题型二】 解指数不等式（幻灯片显示）

例2 ：解下列不等式

（1） （2） （3）

【题型三】  指数型函数 或 的定义域 （幻灯片显示）

例3：求下列函数的定义域

（1） （2） （3） （4）

【题型四】  指数型函数 或 的值域

例4：求下列函数的值域

（1） （2） （3） （4）

【题型五】  指数型函数 或 的单调性

例5：判断下列函数的单调性

（1） （2）

（复合函数单调性根据“同增异减”来判断，让学生自己独立完成，用多媒体展示）

 

【归纳总结  规律方法】

【题型一】  幂的大小比较

①若底数相同，指数不同的指数幂的大小比较，可利用指数函数的单调性判断。

②若底数不同，指数相同的两个指数幂大小比较，可利用指数函数图像的变化规律判断。

③若底数不同，指数也不同的两个指数幂大小比较，则应通过中间值比较。

【题型二】  解指数不等式

①化为同底的形式。

②根据底数不同对指数函数单调性的影响，进行分类讨论。

【题型三】  指数型函数 或 的定义域

①形如 的函数的定义域就是 的定义域，即求指数有意义的 集合。

②形如 的函数的定义域就是指数函数的定义域 。

③解决有关指数函数的定义域时，常遇到解指数不等式的问题，需根据指数函数的单调性求解。

【题型四】  指数型函数 或 的值域

①形如 的函数的值域，不但要考虑 的值域，还要明确 还是 ，利用指数函数的单调性求值域。

②形如 的函数的值域，先求 的值域，再求 的值域。

③求有关指数函数的值域时，常用到指数函数的单调性脱去幂的形式，转化为熟悉的不等式，求值域一般用换元法，注意中间变量的取值范围，以及指数函数的单调性。

【题型五】  指数型函数 或 的单调性

①解决复合函数的单调性问题，首先应弄清函数是哪些基本函数复合而成的，它们的单调性如何，根据“同增异减”来判断复合函数的单调性，函数的单调性一般要用定义进行严格的证明。

②形如 函数的单调性：当 时，函数 与函数 单调性相同；当 时，函数 与函数 的单调性相反。

③形如 函数的单调性，一般用到复合函数法但应注意中间变量的取值范围以及定义域，要考虑指数函数 （ 或 ）的值域为 。

【学以致用  基础训练】

1、函数 在R上是减函数，则 的取值范围是（      ）

A、          B、           C、         D、

2、下列函数式中，满足 的是(       )

A、       B、           C、                         D、

3、已知 ，下列不等式（1） ；(2)；(3)；(4)；(5)中恒成立的有（     ）

A、1个           B、2个           C、3个           D、4个

4、函数 是（     ）

A、奇函数        B、偶函数         C、既奇又偶函数   D、非奇非偶函数

5、函数 的值域是（     ）

A、         B、   C、        D、

6、已知 ,则函数 的图像必定不经过（     ）

A、第一象限      B、第二象限       C、第三象限       D、第四象限

7、设 ，解关于 的不等式 .

8、已知函数 ，求其单调区间及值域.

【巩固提升  作业设计】

1、一批设备价值 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低 ，则 年后这批设备的价值为（     ）

A、      B、       C、     D、

2、下列 是（     ）

A、奇函数        B、偶函数         C、非奇非偶函数   D、既奇且偶函数

3、 是偶函数，且 不恒等于零，则 (    )

A、是奇函数                        B、可能是奇函数，也可能是偶函数

C、是偶函数                        D、不是奇函数，也不是偶函数

4、已知 ，求 的最小值与最大值.

5、若函数 的值域为 ，试确定 的取值范围.

6、已知函数 ,

(1)判断函数的奇偶性；

(2)求该函数的值域；

(3)证明 是 上的增函数.

【板书设计】

指数函数图像性质的应用

【题型一】  幂的大小比较

【题型二】  解指数不等式

【题型三】  指数型函数 或 的定义域

【题型四】  指数型函数 或 的值域

【题型五】  指数型函数 或 的单调性

（注：结合多媒体展示）

【课后反思  自我纠错】

                                                                           

                                                                            

七、教学设计反思

《指数函数的图象与性质》是高中数学函数部分的重点知识，对学生来讲是完全陌生的一类函数,对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的重要问题,从指数函数的研究过程中得到相应的结论固然重要,但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法,在教学中要特别让学生去体会研究的方法,以便能将其迁移到其他函数中去，所以这一节也是难点。掌握好本节知识对前面学习过的函数的定义域、值域、单调性等都会有更深的认识，对于函数的性质具体到指数函数不再停留在记住基本结论，而是能更深层次的借助指数函数的性质完成有关复合函数的综合题目。最终让学生明确指数函数的定义是形式定义,就必须在形式上一模一样才行,让学生对研究指数类复合函数的定义域、值域、单调性等性质,有了整体的认识。尽量让学生自己去体会对底数 的限制条件关系到指数函数性质的分类讨论，教师再给予补充或用具体例子加以说明，因为对这个条件的认识还关系到后面学习对数函数中底数的认识，所以关键在于画出它的图象,再细致分析性质，体会分类讨论思想、数形结合思想。这也是对后面将要学习的对数函数以及等比数列的性质的掌握做好的铺垫。在第一课时中我给学生讲解了一些指数函数的图像性质的基本应用，由于第一课时时间有限，所以我为学生设计了这节指数函数的图像性质的应用，本节课是指数函数的图像性质的第二课时，属于习题课，借此将指数函数的图像性质的应用做以总结。

《高中数学课程标准》强调，教师要引领学生设身处地感受体验，“把学习的主动权还给学生”，教学要从“知识转为能力”的教学理念。本节课课前采用预习案的方式引导学生自学，在学生充分预习的基础上，再创设情境，让学生在课堂上动起来，彼此交流合作，完成五大题型的学习。本节课在第一课时的基础上，基于学生的自主探究式学习，力求在启发式教学的学习环境下，借助多媒体辅助教学，让学生直观、形象通过自主学习去理解、掌握指数函数图象性质的应用，并能提炼出规律方法，以便在做题中灵活应用，调动每一位学生都能积极主动地参与数学学习中来。

本节课的设计还基于解决高一新生学习数学的一些问题。有很多学生发现数学课上听得很认真，也听懂了，书上的基本题也会做，但是稍难一点或课外的题就无从下手了。高中数学的知识量很大，新课程下的数学课每天都有新的知识，学生经常前一天的知识还没来得及消化，第二天就有了新的知识。所以我觉得很有必要教会学生分析问题，教学生做知识总结，并从中提炼出解题方法。这样学生拿到数学题后，就知道如何分析，涉及什么知识点，用什么方法，应该如何处理，只有这样，学生才能在不断的实践练习过程中，帮助学生从新建立学习数学的自信心。

此外，本节课课前我已将学生前一天做的预习案进行批改，课上利用小组学习采用引导法和竞赛法教学，及时准确地给与学生评价，有效利用评价机制，让学生感受到学习的快乐。