1、周期信号的相量表示法

单正弦周期信号可表示为http://s9/mw690/001bH6eHzy6UlRruw2c68&690，其中，D为直流分量，B为正弦幅值，ω为角频率， ω=2pi/T，T为信号周期。 

2、周期信号的傅立叶级数

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http://s5/mw690/001bH6eHzy6V7oUYqEI24&690

cos函数是一个正交函数集，函数集内所有不同频率pω₀的函数相乘后在一个整周期内积分值为零，相同频率的函数相乘后在一个整周期内积分值为1，另外根据三角函数的积化和差公式可以得出：如果是偶函数可以只计算cos部分，虚部为零，如果是奇函数仅计算sin部分，实部为零。即，在一个整周期内，将一个正交函数族cos(pw。t)与被求函数做相关运算，只有在两个函数相关系数为1的情况下，说明他们频率相同，求得的系数即为傅里叶系数。比如偶函数cos(ω₀t)的傅立叶系数为1/2.

一个周期矩形脉冲信号，脉宽T，周期为T₀，幅值为A，可求得其傅里叶系数为：

http://s14/mw690/001bH6eHzy6UlThjN7v6d&690

在频域上是一个离散频谱，p=0为直流分量，整个图形包络为sinc(p*pi*T/T0) 函数， 也就是说周期矩形脉冲是由无数个基频ω₀整数倍的单频正弦信号组成 _。T0=10T，T0=2T的图形如下：

http://s13/mw690/001bH6eHzy6UlTvFsKgac&690

sinc函数的自变量P为傅里叶级数的频率或谱线数，谱线间隔2π/T_0，Sinc（p*pi/β）函数的角频率,在p=β,2β,3β……时，其值为0。即主瓣的宽度为-2π/T～2π/T。

一个余弦信号，幅值为A，频率为pω₀ ，其傅里叶级数为：

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是一个在实轴上的δ-函数。在f=pω₀Hz时，幅值为0.5。在实轴上。虚部为零。 

一个正弦信号，幅值为A，频率为pω₀ ，其傅里叶级数是一个在虚轴上的δ-函数。在f=pω₀Hz时，幅值为-j0.5。在虚轴上。实部为零。即赋值不变，相位相差90°。

一个相位pi/4的正弦信号也是一个δ-函数。在实轴和虚轴上都有值。在f=pω₀Hz时，幅值为0.3536*(1-j)。

即，一个实数信号的傅里叶级数是一个复数，由实部（cos波形）和虚部（sin波形）构成。在用Matlab计算fft时，实部和虚部都是对称的，只需要计算0～N/2个点，也就是采样频率的一半即可

3、瞬态信号的傅里叶变换

脉宽T不变，当信号周期T₀逐渐增大， Δω=ω₀=2π/T₀趋于无穷小。周期信号傅里叶频谱Xp除以频率间隔Δω得到谱密度X（ω），

http://s5/mw690/001bH6eHzy6V7rfYskc44&690

比较以上两式，周期信号的频谱与瞬态信号的谱密度有相同的包络。当β＞10时尤其准确。这样就可以使用周期信号的傅里叶级数来计算瞬态信号的傅里叶谱密度。将离散频谱转为连续谱密度函数。

http://s12/mw690/001bH6eHzy6V7rDQD6rdb&690 4、窗函数的数字滤波作用与频率泄露

       根据卷积定理，两个时域信号的乘积等于它们的傅里叶变换在频域的卷积。数据处理中一次处理一段数据，可以看做是将一个周期信号与一个矩形脉冲信号（时间窗函数）做乘积。矩形脉冲信号的傅里叶变换W(ω)，信号x(t)的傅里叶变换为X(w)（傅里叶级数）。两者的频域卷积

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将W(ω)近似看做一个宽度为 -2π/T～2π/T之间的脉冲,中心高度为1忽略所有旁瓣，则W(ω)就成了一个数字滤波器（滑动平均滤波，相对于模拟IC滤波器而言不使用硬件）。只有当T->∝时滤波器的宽度才为零，信号能够完全还原。

在X(w)上任取一个频率点v=w1，则，W(ω)不为零的区间为–πB≤ω1-v≤πB，卷积结果为

http://s15/mw690/001bH6eHzy6V7tDAA4C9e&690

即，ω1点的值为以ω1为中心的一个X(ω)均值。相当于一个低通滤波器。滤波器的核为sinc-函数。

根据卷积定理，时域的乘积可以看做频域的卷积。矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个连续函数，

x(t)的傅里叶变换（周期信号的傅里叶级数，最大周期T）是一个离散序列。两者进行卷积，每一根离散谱线相当于一个频移的δ-函数，卷积的结果就是一个频移的窗函数频谱。这样当N_c不是ω₀的整数倍时，窗函数频谱就泄露到了Xp上。理论上能够分辨出来的最小频率完全取决于窗的长度T（2π/T ）。单频正弦信号sin(ω_cx)的频谱为单一频谱X_p，可以看做一个δ-函数δ(ω-ω_c)。其频域卷积

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就是说频率为ω_c的单频正弦信号（第N_c根谱线），其频谱经加窗后变成一个平移的窗函数频谱。其主瓣宽度4pi/T，这里的T是窗函数的有效宽度，也是所要分析的信号的宽度，即信号的基本周期。如果T=1s，则主瓣宽度为4pi或者2Hz，所能分析出的信号X的最小频率是2pi/T=2pi，或1Hz。如果ω_c是整数，则窗函数正好能分辨出这一谱线，如果不是整数，则会泄露到相邻谱线上。

       即，一个矩形窗函数（非周期瞬态信号）与一个信号函数（周期为T的整数倍的周期函数）相乘，在频域上相当于将一个sinc函数（可近似为一个sinc主瓣脉冲，宽度为 ，中心点为1，旁瓣忽略）和一系列间隔为ω₀的脉冲函数做卷积。即，求得的频谱是一个连续频谱，而不是离散频谱。

       比如，一个频率4π的单频正弦信号Asin(4pi*x)，与一个T=1s的窗函数相乘。此窗函数能分辨的最小频率2π，两个函数在频域上卷积的结果是将窗函数（近似的sinc脉冲）的中心频率移到了4π处，宽度为-2π～2π。在4π频率点处，其值为Asin(4pi*x)的频谱A，在其它频点上频谱均为零。 

       但是如果实际信号的频率不是4pi，是5pi，不是窗函数周期的整数倍，即实际信号与我们的假设不一样（我们假设所分析的信号频率是ω₀=2π/T的整数倍）就会产生频率泄漏。窗函数的频谱仍然是一个sinc主瓣脉冲，实际信号是一个频率5π的 脉冲。卷积的结果是sinc主瓣脉冲中心点平移到了5π处，因为信号的谱线是离散的，是2π的整数倍，分辨不出5π的频率（没有5π这根谱线），但是sinc主瓣是连续函数，延伸到了附近的4π和6π上，实际信号是单频率5π，但我们分析出的结果却是双频信号4π和6π，这就叫做产生了频率泄漏。

5、信号调制与解调

信号调制，即将较低频率信号调制到较高频率可以减小发射天线的尺寸，并可以防止相同频段内的不同信号相互干扰。所用到的理论相当于周期信号加窗的作用，载波信号是单频的周期信号，窗函数相当于要调制的有用信号。调制信号g(t)与载波cos(ω₀t)在时域相乘相当于在频域做卷积将信号频谱搬移至载波频率处。

http://s6/mw690/001bH6eHzy6V7xn3IvHd5&690

同步解调：在接收端使用与发射端有相同频率的载波，将两个波形做相关运算，,则

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，可见信号频率恢复到了原来的值，但又多加了一个2ω₀附近的频谱，使用滤波器将它滤除即可。常用的集中信号调制方法有：

频分复用：在发送端将各路信号频谱搬移到各不相同的频率范围，使它们互不重叠，这样就可复用同一信道传输。

时分复用：根据采样定理以有用信号带宽的2倍采样时域信号，即可还原信号，在不同时刻采样不同信号即可实现时分复用。

码分复用和码分多址（CDMA）：使用正交函数自相关为1，互相关为0的特点来使用不同的正交函数编码和解码，并且多个信号占用的频带和时间可以重叠。也称为正交复用。CDMA的示例如下

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