古希腊数学家欧几里德（公元前275年）

古希腊罗马时期，光学的研究倍受科学家的重视，发展很快。公元前3世纪的著名学者欧几里德第一个把光学研究建立在科学的基础之上，此后的科学家克里奥梅德斯、托勒密等人阐明了光学折射的理论。在光学领域里作出了卓越的贡献。

欧几里德（欧几里得，约公元前330年—前275年），古希腊数学家，米利都学派（也称爱奥尼亚学派）的重要成员，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323年－前283年）时期的亚历山大里亚，欧氏几何的最后完成者。他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里德几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里德也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品,是几何学的奠基人。

最早的几何学兴起于公元前7世纪的古埃及，古希腊几何学从泰勒斯（？-公元前547年）开始，又借毕达哥拉斯学派系统到柏拉图学派奠基。在欧几里德以前，人们已经积累了许多几何学的知识，然而这些知识当中，存在一个很大的缺点和不足，就是缺乏系统性。大多数是片断、零碎的知识，公理与公理之间、证明与证明之间并没有什么很强的联系性，更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明。因此，随着社会经济的繁荣和发展，特别是随着农林畜牧业的发展、土地开发和利用的增多，把这些几何学知识加以条理化和系统化，成为一整套可以自圆其说、前后贯通的知识体系，已经是刻不容缓，成为科学进步的大势所趋。

欧几里德生于雅典，曾就学于柏拉图学派。欧几里德过早期对柏拉图数学思想，尤其是几何学理论系统而周详的研究，已敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势。他下定决心，要在有生之年完成这一工作。为了完成这一重任，大约在公元前300年左右，欧几里德应托勒密一世邀请，不辞辛苦，长途跋涉，从爱琴海边的雅典古城，来到尼罗河流域的埃及新埠、希腊化时代西方学术文化的中心—亚历山大城。欧几里德在这里从事数学研究，并成为亚历山大学派的创始人之一。

之后的无数个日日夜夜里，欧几里德一边收集以往的数学专著和手稿，向有关学者请教，一边试着著书立说，阐明自己对几何学的理解，哪怕是尚肤浅的理解。经过欧几里德忘我的劳动，终于在公元前300年结出丰硕的果实，这就是几经易稿而最终定形的《几何原本》一书。这是一部传世之作，几何学正是有了它，不仅第一次实现了系统化、条理化，而且又孕育出一个全新的研究领域——欧几里德几何学，简称欧氏几何。

《几何原本》是一部在科学史上千古流芳的巨著。是古希腊几何学集大成之作，充分地体现了古希腊几何学的发展结果，成为标志古代希腊几何学形成完整体系的里程碑。它不仅保存了许多古希腊早期的几何学理论，而且通过欧几里德开创性的系统整理和完整阐述，发展为建立在定义和公理基础上演绎而成的一套严密体系。

它开创了古典数论的研究，在一系列公理、定义、公设的基础上，创立了欧几里德几何学体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。《几何原本》是欧几里德不仅在选择公理和编排定理次序上下了一番功夫，而且他还增补了一些定理，给出了一些证明；特别是体系的严谨与论证的严密更使后人赞叹不已。

按照欧氏几何学的体系，所有的定理都是从一些确定的、不需证明而礴然为真的基本命题即公理与公设演绎出来的。在这种演绎推理中，对定理的每个证明必须或者以公理为前提，或者以先前就已被证明了的定理为前提，最后做出结论。这一方法后来成了用以建立任何知识体系的严格方式，人们不仅把它应用于数学中，也把它应用于科学，而且也应用于神学甚至哲学和伦理学中，对后世产生了深远的影响。

《几何原本》的内容共计有13篇，有的版本列出15篇，其中第14篇和第15篇非欧几里德所作，而是后人补上去的。《几何原本》全书有467个命题，涉及初等几何的各个方面，反映了古希腊几何学的成就。全书内容是由少数定义、公设、公理演绎而得，足见欧几里德选择公理、编排体系之出色。

第1篇首先给出了23个定义，涉及到点、线、面、圆和平行线等一批原始概念；然后提出了5个公设和5个公理：

公设1.从任一点到任一点作直线（是可能的）。

公设2.把有限直线不断循直线延长（是可能的）。

公设3.以任一点为中心和任一距离（为半径）作一圆（是可能的）。

公设4.所有直角彼此相等。公设

公设5.若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。

公理

公理1.跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。

公理2.等量加等量，总量仍相等。

公理3.等量减等量，余量仍相等。

公理4.彼此重合的东西是相等的。

公理5.整体大于部分。

第1编在公设和公理之后，还给出了48个命题。这48个命题的内容可以分为3类，第一类是从命题1到命题26，主要讨论了三角形和垂直（垂线）问题，包括三角形的三个全等定理；第二类是从命题27到命题32，主要讨论了平行线问题，并证明了三角形的三个内角之和等于两个直角；第三类是从命题33到命题48，主要讨论了平行边四形、三角形和正方形，特别注意面积问题，最后的两个命题分别证明了毕达哥拉斯定理及其逆定理。

第2篇有14个命题，主要讨论了面积的变换和几何代数法，特别是几何代数法，反映了希腊数学发展的特点。从毕达哥拉斯学派开始，希腊人不承认存在无理数，所以他们用线段来代替数，处理长度、角度、面积和体积。这样，两数的乘积为两边长等于两数的矩形的面积；三数的乘积为棱长、宽和高分别等于三数的长方体体积；两数相加减则用把一线段延长或对一线段截割来表示；两数相除则为两线段之比。

第3篇有37个命题，这些命题全部与圆有关。它首先给出了与圆有关的一些定义，然后讨论了弦、切线、割线、圆心角及圆周角等问题。

第4篇有16个命题，主要讨论了圆内接和圆外切图形。在圆内接正多边形中，除了正方形、正五边形和正六边形之外，最后的命题还指出了正十五边形的建立。据说，圆内接正十五边形产生于天文学。

第5篇先给出了18个定义，涉及几个量之比的相互关系；然后用25个定理证明了比例的一些基本性质。这一篇被认为是对欧多克斯的比例理论的阐述。

第6篇有33个命题，主要是利用第5篇的比例理论讨论了相似形问题。

第7篇至第9篇共有102个命题，主要讨论了数论，即整数和整数之比的性质问题。《几何原本》中只有这3篇讨论了算术问题，不过，关于比例的定义和定理，有很多是重复了第5篇的内容。那么为什么欧几里德仍然要把数论列为独立的篇章呢？有两种看法，推测了欧几里德的出发点：一种看法认为欧几里德认为在他前几篇中所用的量的概念中并不包括数；因此需要把关于数的比的命题重新证一遍；另一种看法是关于整数和可公度比的理论是欧多克斯以前就有的，欧里得很可能是按传统方式对独立发展的毕达哥拉斯的理论和欧多克斯的理论分别加以介绍。

第10篇有115个命题，主要是对无理量（即与给定量不可公度的量）进行分类。

第11篇首先给出了关于立体、立体的边界、直线与平面的垂直、两平面的垂直、平面与平面的夹角等的定义，另外还定义了平行平面、相似立体形、立体角、棱锥、棱柱、球、圆锥、圆柱、立方体、正八面体、正十二面体等立体形。这一篇的39个定理，证明了直角和平面的性质以及多面体的一些特殊情形。

第12篇有18个命题，主要证明了关于面积和体积的定理，特别是关于曲线和曲面所围成的面积和体积。欧几里德的证明体现了穷竭法的思想。

第13篇有18个命题，讨论了正多边形的性质及其内接于圆时的性质，并论述了怎样把5种正多面体内接于一个球的问题。

《几何原本》在西方世界成为仅次于《圣经》而流传最广的书籍。它一直是几何学的标准著作。当然，这部巨著也并非没有缺点：有个别证明证错了，也有些定义含糊而不明晰；有的内容前后重复，也有些内容带有前人著作堆砌的痕迹，而不断受到批评，比如对于点、线、面的定义是不严格的：“点是没有部分的对象”，“线是没有宽度的长度（线指曲线）”，“面是只有长度和宽度的对象”。显然，这些定义是不能起逻辑推理的作用。特别是直线、平面的定义更是从直观来解释的（“直线是同其中各点看齐的线”)。

另外，他的公理五是“整体大于部分”是欧几里德的杰作，他可能认为为了避免出现无限远空间的问题，没有涉及无穷量的问题。但是，这个公设由于不如前4个公设那么一望而知，人们不容易一下子接受，在他的证明中，原来的公理也不够用，须加上新的公理。甚至有人认为欧几里德之所以把它作为公设，是因为他无法证明它。这成为《几何原本》的一个“污点”，为洗刷这一污点，在欧几里德提出这一公设之后，不断引起人们用其它公理和公设予以证明的努力以及对它的种种怀疑。在此后的两千年间，对它证明的努力终于失败，而对它的怀疑则产生了非欧几何。1826年，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（罗巴契夫斯基，1792年-1856年）宣读了他的关于非欧几何的论文《简要叙述平行线定理的一个严格证明》，这标志着几何学的新革命。非欧几何的发展不仅为相对论的产生准备了条件，更为重要的是它所引入的新思想，从根本上更新了古老的几何观念。这一结果是欧几里德无法预料的。

《几何原本》起初以手抄本形式流传，在欧几里德死后700年，《几何原本》出版。1120年被译成拉丁文，1570年出现英译本，到19世纪末，已有1000多种版本。中国最早的译本是1607年（明朝万历三十四年），由利玛窦和徐光启合译的《几何原本》前6 卷，1857年（清朝咸丰七年）由伟烈亚力和李善兰合译了后9卷。

还应特别指出的是，《几何原本》在数学教育上的不容忽视的价值。直到19世纪末，《几何原本》一直是几何学的教学课本；就是在当代，《几何原本》的一些内容仍是中学几何教材所不可缺的。它作为学生接受严格的逻辑训练和数学训练的工具，曾经训练出一代又一代的数学家和科学家。

除了《几何原本》之外，欧几里德还有另外五本著作流传至今。它们与《几何原本》一样，内容都包含定义及证明。

《已知数》（《数据》，Data）指出若几何难题图形中的已知元素，内容与《几何原本》的前四卷有密切关系。

《圆形的分割》（《论图形的剖分》，On divisions of figures）现存拉丁文本，论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分，内容与希罗（Heron of Alexandria）的作品相似。

《反射光学》（Catoptrics）论述反射光在数学上的理论，尤其论述形在平面及凹镜上的图像。为几何光学奠定了基础，被认为是最早的光学专著。可是有人置疑这本书是否真正出自欧几里德之手，它的作者可能是提奥（Theon of Alexandria）。

《现象》（Phenomena）是一本关于球面天文学的论文，现存希腊文本。这本书与奥托吕科斯（Autolycus of Pitane）所写的 On the Moving Sphere 相似。

《光学》（Optics）早期几何光学著作之一，现存希腊文本。这本书主要研究透视问题，叙述光的入射角等于反射角等。

欧几里德还有几部已失传的数学著作，根据后人记载的情况看，有一本《二次曲线》，据说这本书成为阿波罗尼乌斯（约前262年至前190年）的《圆锥曲线》中头3篇的主要内容；还有《衍论》和《曲面- 轨迹》，这两本书的大部分内容和性质已无人知道，据后人的零散记载推测，前一部书可能是和几何做图有关，后一部书可能是讨论曲面的轨迹问题；另外还有一本《辨伪术》，可能是书中包含有故意给出的错误证明，以达训练学生的目的。在欧几里德的天文学教本《现象》中，涉及到球面几何的问题。

欧几里德不仅是一位学识渊博的数学家，同时还是一位有“温和仁慈的蔼然长者 ”之称的教育家。在著书育人过程中，他始终没有忘记当年挂在“柏拉图学园”门口的那块警示牌，牢记着柏拉图学派自古承袭的严谨、求实的传统学风。他对待学生既和蔼又严格，自己却从来不宣扬有什么贡献。对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生，他总是循循善诱地予以启发和教育，而对于那些急功近利、在学习上不肯刻苦钻研的人，则毫不客气地予以批评。在柏拉图学派晚期导师普罗克洛斯（亦译作普洛克罗，普洛克拉斯、普罗克拉斯、普罗克鲁斯、普罗克吕，410年-485年）的《几何学发展概要》中，就记载着这样一则故事，说的是数学在欧几里德的推动下，逐渐成为人们生活中的一个时髦话题，以至于当时托勒密国王也想赶这一时髦，学点儿几何学。虽然这位国王见多识广，但欧氏几何却在他的智力范围之外。于是，他问欧几里德“学习几何学有没有什么捷径可走？”欧几里德严肃地说：“抱歉，陛下!学习数学和学习一切科学一样，是没有什么捷径可走的。学习数学，人人都得独立思考，就像种庄稼一样，不耕耘是不会有收获的。在这一方面，国王和普通老百姓是一样的。” 从此，“在几何学里，没有专为国王铺设的大道。”这句话成为千古传诵的学习箴言。

欧几里德是人类科学思想史上的一盏指路明灯。他第一次使数学理论系统化，并使几何学逐渐成为一门独立发展的正式学科体系。他对数学史上的许多疑难命题和定理做了开创性的论证和解释，为数学的发展打下了坚实的理论基础，而他在理论中存在的缺憾，也成为后人攀越智慧高峰不可缺少的台阶。这一正一反都推动了人类数学思想的进步，从而为后来人类能更好、更深刻的认识自然界提供了更为有效的工具。因此，后人尊称他为“几何学之父”，以铭记他在数学思想发展中的卓越贡献。