13. 域

13.1. 域的例子

13.1.1. a=a-1=> a2-1=0，于是a=±1。对比群中可以有很多2阶元，域中不行。

13.1.2. 如果K不包含于R，则K中含有非实数z，作为R上的2维线性空间，C的一组基可以是z和1，而有理数域Q在R上稠密，包含于K中，于是K在C上稠密。

13.1.3. 对于R中任何元素x，乘以x可以看成R上的F-线性映射T，于是可以有到F上n维矩阵环的环同态R→Mn(F)，这个同态的核是0理想，因为相当于乘以这个元素把每个元素映为0。于是是单射。当x不等于0时，乘以x不会把非零元素映为0，于是T是非奇异的，T的特征值不为0，考虑T的特征多项式∑aiTi=0，T(∑aiTi-1)=-a0，于是作为线性映射，T有逆存在并且可以表示成T的多项式f(T)，因此af(a)=1。

13.1.4. 特征整除域的阶，又是素数，于是必然是2。

13.2. 代数元和超越元

13.2.1. 计算a2+1的平方和立方，看什么时候前几个幂次线性无关，利用a3-2=0，最后得到方程是x3-3x2+3x-5=0。

13.2.2. 略

13.2.3. a) x4-16x2+4=0；b) x2-2√5x+2=0；c) 同 a)；d) x2-8-2√15=0。这几题原则上做法还是计算各个幂次，看什么时候有线性相关现象。学了伽罗华理论可以很快写出结果，因为这时候就知道不可约多项式的几个根是什么了。

13.2.4. 待定系数法直接计算。

13.2.5. f(x)-a0被x整除。于是带入α可以得到α乘以α的多项式等于常数，消去常数得到逆。

13.2.6. 如果-1在K=Q(β)中可以表示成平方和，在域同构K→Q(3√2)下-1依然可以表示成平方和，但这时后者是实数域的子域，平方和是正的，而-1是负的。

13.3. 域扩张的阶

13.3.1. [F(α2):F]整除[F(α):F]=5，而且前者不是1（否则α的不可约多项式是2次），所以只能是5。

13.3.2. 前者的不可约多项式是6次，属于一个6次扩域，后者是4次属于4次扩域，4不整除6。

13.3.3. a) x2+1=0; b) x2-x+1=0; c) x4+1=0; d) x6+x3+1=0；e) x4+x3+x2+x+1=0; f) x4-x2+1。

13.3.4. 首先计算出阶数应该分别是1,3,2 a) x+ζ3=0；b) x3-ζ3=0; c) 从x4-ζ3中约去两个明显的根±ζ3的线性式，得到x2+ζ32=0。

13.3.5. 满足一次方程，于是看成F上两个数的商，属于F。

13.3.6. 4√a满足Q上的4次方程，于是是Q上至多4次扩张中的数。√a包含于这个域，而4√a不包含于Q(√a)，于是[Q(4√a):Q]=[Q(4√a):Q(√a)][Q(√a):Q]≥2*2=4，于是必然是4阶。

13.3.7. a) 设i=a√-2+b，平方后得b2-2a2=-1,2ab=0。无解。
b) 记x=4√2，则4√-2=x(1+i)/√2若i=a(-1+i)x3/√2+bix2+c(1+i)x/√2+d，考虑复平面上在实数轴和虚轴上的投影，可得(c-2a)x/√2+d=0，ax+2cx3+b√2=1由于4√2，√2，1在Q上线性无关，方程无解。
c) 这时一个不可约多项式，因此所得域是3次扩域，不会有2阶元。

13.3.8. K可以经过两次连续扩张得到，扩张次数分别不超过m,n，于是[K:F]≤mn，只添加α或β的扩域包含于K，于是[K:F]被m，n整除，于是[K:F]=mn。

13.3.9. K有中间域Q(α)，于是3|[K:Q]；K可以经过两次扩张得到，每次不超过3阶，因此[K:Q]≤9。3,6,9均可以得到：3相当于两个元素是一个3次多项式的根，判别式为平方数（Galois理论有详细内容）。6相当于2个元素是一个一般3次多项式的根；9相当于两个数没啥关系。

13.3.10. 由韦达定理，满足方程x2-(a+b)x+ab=0。因此是Q(a+b,ab)上的最多2次扩张。

13.3.11. f在K上不可约则Q[a,b]在K上是deg f阶扩张，Q[a,b]的扩张阶数是(deg f)(deg g)，同理。

13.3.12. a) 因为说明[F':F]=1。b) 例如取两个无关的2次元，考虑F=Q(a), F'=Q(b), K=Q(a,b)。

13.3.13. 归纳证明即可。

13.3.14. F(a,b)在F(a)上的基是b的幂次，F(a)在F上的基是a的幂次，因此。。。

13.3.15. 不是，所有代数数在有理数域上扩张不是有限阶，因为包含可以任意高阶数的元素。

13.4. 尺规作图

13.4.1. 用半角公式。

13.4.2. a) 根所满足的方程是 x4+x3+x2+x+1=(x2+x/2+1)2-5/4x2。

13.4.3. 可以用cos函数与指数函数关系来计算。

13.4.4. 不可以。根满足6次方程，见13.3.3。

13.4.5. 可以，能作出三角形的高和底边，然后底边乘以2，求几何平均。

13.4.6. 这个3次方程不可约。

13.4.7. √π是超越元，不能由一系列2次扩张得到。

13.4.8. x3-2是不可约3次多项式。

13.4.9. 略

13.4.10. 若n是奇数则an+1被a+1整除。

13.4.11. 这就是通过有限次2次扩张能得到的所有元素。

13.4.12. 也是有限次2次扩张能得到的元素，之前只能添加正数的2次根，这时当做复数看，可以添加任何数的平方根。

13.4.13. 其中一条边长设为1，对面的点的坐标作为已有元素，由此可以通过2次扩张得到的元素就是可作元素。

13.4.14. 和上题的起始域相同，然后发现球的交点的坐标也是满足2次方程，于是答案是一样的。

13.5. 形式添加根

13.5.1. f=gh,求导得f'=g'h+h'g，由于g不可约，g和g‘互素。于是g|h。

13.5.2. 要求导函数pxp-1-1和xp-x有公因子，后者减去前者乘以x/p得(1/p-1)x，显然x不是公因子，于是要求1/p-1=0，域的特征整除p-1。

13.5.3. 有重根，实际上f'(x)=0，于是重根是p重。xp+1=(x+1)p。

13.5.4. 每次添加一个新的根时，旧的不可约多项式因为已经添加过一个根，至少约去了一个线性因此，次数最少减1，于是每次的扩张次数是依次有上界n,n-1,…,1。最后的界是n!。

13.6. 有限域

13.6.1. 作为线性空间同构于F2上的2维空间，因此加法群≌C2xC2。

13.6.2. 加法乘法都有区别。可从4阶元和幂零元角度考虑。

13.6.3. 313=3。

13.6.4. F2上有两个3次不可约多项式，F8中8个元素，有两个元素的不可约多项式是1次：x,x-1；有3个的不可约多项式是x3+x+1：β, β2, 1+β+β2, 另外3个的不可约多项式是x3+x2+1。

13.6.5. x27-x是所有F3上3次和1次不可约多项式的乘积，x3-x是1次不可约多项式的乘积，因此3次不可约多项式有(27-3)/3=8个。

13.6.6. 用Eisenstein判别法来证明Z上不可约。

13.6.7. 分别分解成3个1次和3个2次；3个1次和8个3次不可约多项式的乘积；每个不可约多项式都出现，用筛法找不可约多项式。

13.6.8. x16-x包含了1,2,4次F2上不可约多项式的所有根。在F4上是2次扩域，每个2次不可约多项式分解为单项式，每个4次不可约多项式分解为两个2次多项式；具体分解可以用筛法，去掉F4上单项式的倍数，记F4=F2(a)，则F4上2次不可约多项式为
x2+x+a；x2+x+a+1；x2+ax+1; x2+ax+a; x2+(a+1)x+1; x2+(a+1)x+a+1
F8不是F16的子域，和F4的交是F2，因此每个4次不可约多项式和2次不可约多项式在F8上依然不可约。

13.6.9. 这样的f被xq-x整除。因此系数对幂次模q-1的同余类求和是p的倍数，加上常数项为零就行了。

13.6.10. a和a-1配对乘积是1，±1没有配对的。

13.6.11. 因为xp-a在Fp上等于(x+a)p。

13.6.12. (a-b)p=ap-bp利用组合数，然后归纳。

13.6.13. p|n-1, n是素数幂次。

13.6.14. a) 筛法算出是(p2-p)/2。b) 元素个数没说的；满足二次方程也是以前的结果，二次扩域（事实上素数次扩域都对）中非基域元素满足2次方程。c) 算算不可约2次多项式的个数和2次扩域中非基域中元素的个数正好对上。d) 可以看成添加同一个不可约多项式的根得到的域，因此同构。

13.6.15. x→1/y。

13.6.16. a) 根是0和q-1次单位根，引理中条件保证q'-1|q-1，因此单位根包含于后者的，于是对应多项式整除。 b) 整系数多项式关系式，系数在C上时成立，则一般环都成立。