l 一些有限群的同构类

n 素数阶有限群G都同构与循环群Zp。任取非单位元素x，x的阶整除p，并且不是1，因此|x|=p，<x>=G，G≌Zp。

n 4阶群有两个同构类Z2+Z2或Z4，如果有4阶元则是Z4，否则都是2阶元，必然是交换群，可以写成两个不同的2阶子群的直和。

n 6阶群G有两个同构类Z6或S3，其中Z6≌Z3+Z2是交换群，S3非交换。证明如下：元素阶整除6。如果G有6阶元，则同构于Z6。如果G有3阶元（学习西罗定理之后可以知道必然有3阶元和2阶元），设|x|=3，则<x>是指标2的子群，是正规子群。G/<x>≌Z2，取yÏ<x>，|y|的阶被2整除，由假定知|y|=2。<x,y>至少是6阶群，因此<x,y>=G，yxy=x或yxy=x2，二者分别给出Z6或S3。如果G的元素都是2阶，则G是交换群，取2阶元x，G/<x>阶是3，因此G有元素阶被3整除，矛盾。

l 奇置换与偶置换定义

n 任何置换可以写成对换(ij)的乘积，进一步这种对换可以只用(i i+1)型的，也就是说，这类对换构成Sn的生成元。

n 一个置换σ对应于{1,2,…,n}的一个排列，计算排列的逆序对{i<j，σ(i)>σ(j)}的数目S(σ)。

n σ→S(σ) mod 2定义了Sn→Z2的一个映射Sgn，成为符号，我们将要证明这是群同态。

n 任取（k k+1)型对换η，则Sgn(η)=1。（只有一个逆序对）。

n 任取（k k+1)型对换η，则Sgn(ηoσ)=Sgn(σ)+1=Sgn(η)+Sgn(σ)。一个数对(i,j)，它不同时是ηoσ和σ的逆序对当且仅当{σ(i),σ(j)}={k,k+1}。因此σ与ηoσ的逆序对数相差1，因此符号相反。

n 任给置换τ，写成(k k+1)型对换乘积，并重复利用上式，可知Sgn(τ)等于把τ写成(k k+1)型对换的乘积时所用对换的个数模2余数。

n 任意两个置换τ和σ，把τ写成(k k+1)型对换的乘积，可以证明Sgn(τoσ)=Sgn(τ)+Sgn(σ)，因此Sgn是同态。

n 一个一般的对换η有Sgn(η)=1。一个一般的轮换σ有Sgn(σ)=l(σ)-1 mod2，其中l表示轮换长度。

n 一般的置换σ，Sgn(σ)等于把σ写成一般对换乘积的所用对换个数模2余数。

n 如果置换写成轮换乘积，Sgn等于长度为偶数的轮换的个数模2余数。

n 如果置换写成GLnR中置换矩阵P的形式，（-1)Sgn=det(P)。