2011-11-9整系数多项式的素因子_罗炜

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2011-11-9整系数多项式的素因子

(2012-01-03 10:42:42)

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分类：高中奥数

【题目】设f(x)是非常数整系数多项式，则满足p|f(x)，x∈Z的素数p有无穷多。

【解答】

● 假设只有有限个素数p_1,…,p_k整除集合{f(x)|x∈Z}中的至少一个数。

● 对每个p_i，取x_i使得p_i|f(x_i)，设p_i^t_i‖f(x_i)，则当x≡x_i (mod p_i^(t_i+1))时，p_i^t_i‖f(x)。

● 上面的k个同余式由中国剩余定理同时有解，因此得到f(x)被p_i幂次整除的上界是t_i，|f(x)|≤∏p_i^t_i。

● f(x)是非常数多项式时，|f(x)|没有上界，矛盾。

【评论】

● 可以用来证明素数无穷多。

● 比较指数型序列中素因子的相关题目：111107

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