加载中…2011-11-6反方向的柯西不等式
(2012-01-03 10:42:29)
标签：
代数不等式柯西不等式杂谈 |
分类： 高中奥数 |
【题目】已知正整数n≥2，实数a_1,…,a_n满足(∑a_i)(∑1/a_i)≤(n+1/2)^2。求证：max(a_i)≤4min(a_i)。
【解答】
●
所有a_i乘以一个常数，不等式左边不变（齐次性），不妨设min(a_i)=1，记a_{n-1}=1，a_n=max(a_i)=M。
●
当∑a_i固定，其中一个是1，另一个是M时，由平均不等式∑1/a_i在其余a_i相等时取最小值，设其他a_i为t。
● (∑a_i)(∑1/a_i)≥(1+M+(n-2)t)(1+1/M+(n-2)/t)=n^2-4n+6+M+1/M+(n-2)(M/t+t/M+1/t+t/1)
●
上式右端当t=√M时取最小值因此
●
上式右端关于M>1是增函数，而当M=4时取值是n^2+n+1/4=(n+1/2)^2，因此M≤4。
喜欢
0
赠金笔