浅谈多维球的面积和体积

山东济南章丘 马国梁

我们知道：现实的空间是三维的。所以对于超过三维的几何体我们是想象不出来的，当然也是做不出来的。但这不等于它们就绝对不存在，没有任何现实意义。就拿最简单的“四维球”来说，虽然我们不可能种出一个“隔着皮就能把瓤吃空”的四维西瓜来，但是四维球确实以它自己的独特的方式存在着。

因为它有确定的数学方程。在直角坐标系内，当球半径为R ，四个方向的坐标x、y、z、t的取值皆不超过R时，凡是符合方程  xx + yy + zz + tt ≤ RR  的全部几何点都是该四维球的组成元素。而符合下式的全部几何点则组成了该四维球的球面。

   xx + yy + zz + tt = RR

再就是它们有确定的面积和体积。在直角坐标系中，当半径R很大时，在球体内的整数坐标点的个数就是该球的体积；而在球面附近1个单位宽度内所拥有的整数坐标点的个数则是该球的表面积。我们可以使用表格采用穷举的办法统计出来。

例如当 R = 10时，在第一象限内，整数坐标点的个数共有

    11×11×11×11 = 14641 个

而距离原点 sqrt(xx + yy + zz + tt) ≤ 10 的整数坐标点则只有4272个

所以球的体积占相应正方体的   4272/14641 = 29.178%

在第一象限，位于球面附近1个单位宽度内的整数坐标点个数是1723 个,所以该部分球面积在数值上等于它的体积。占相应正方体的 1723/14641 = 11.768%

当然，用这种方法得出的面积和体积肯定是非常粗略的，不如用公式计算来的精确。但问题是：它们的计算公式究竟存不存在？

令人欣喜的是：本人运用推理的方法不仅证明了它们的面积和体积公式确实存在，而且还推出了这些公式，并通过网上搜索的资料证明了它们的正确性。

其中四维球的面积是    S = 2ππRRR

在第一象限的球面其单位厚度的体积占相应正方体的

                (S/16)/RRRR = ππ/8R = 12.337% ＞ 11.768%

四维球的体积是       V =（1/2）ππRRRR

第一象限的球体积与相应正方体的体积比是 

              (V/16)/RRRR = ππ/32 = 30.84% ＞29.178%

同理

五维球体的方程是  xx + yy + zz + tt + ss ≤ RR

五维球面的方程是  xx + yy + zz + tt + ss = RR

五维球的面积是    S =（8/3）ππRRRR

五维球的体积是    V =（8/15）ππRRRR R

六维球体的方程是  xx + yy + zz + tt + ss + uu ≤ RR

六维球面的方程是  xx + yy + zz + tt + ss + uu = RR

六维球的面积是    S = πππRRRR R

六维球的体积是    V =（1/6）πππRRRR RR

七维球的面积是    S =（16/15）πππRRRR RR

七维球的体积是    V =（16/105）πππRRRR RRR

八维球的面积是    S =（1/3）ππππRRRR RRR

八维球的体积是    V =（1/24）ππππRRRR RRRR

………………

总之，只要存在多维的自由数据，那就有多维“球”的真实存在，并具有其特定的性质。多维几何体虽然我们看不到、摸不着，但是它的性质也不是我们可以信口胡说的。