高考中的开放性试题是一类目的条件或结论不完备的问题，命题者根据学科的特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题。主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备的能力，它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求.使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。其难度大、要求高，是训练和考查学生的创新精神，数学思维能力、分析问题和解决问题能力的好题型.

　　近几年来高考中开放性试题份量在加重，形式也多样，在选择题、填空题、解答题中都已出现，很多时候放在压轴题，以数列、解几、函数做背景，其优点是区分度大，充分考察了学生的综合能力，高考常见的开放性试题，就其命题特点考虑，可分为有限归纳型、题设开放型、结论开放型、题设和结论均开放型以及探索类型的几类问题。高考题中一般解这类问题有如下方法：

　　一 、有限归纳类型。

　　特点：要求通过观察、类比、归纳，推测出问题的结论，然后对结论再加以证明。对策：通过有限项列举，再归纳，猜想或通过联想一般性结论而类比。

　　例1.(2010陕西卷)观察下列等式：http://fmn.rrimg.com/fmn061/20130326/1020/original_XgwX_084f00001b56125c.jpg，根据上述规律，第五个等式为____________.

　　解：∵所给等式左边的底数依次分别为1,2;1,2,3;1,2,3,4;……右边的底数依次分别为3,6,10……（注意：这里3+3=6,6+4=10），∴由底数内在规律3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4可知：第五个等式左边的底数为1,2,3,4,5,6，右边的底数为10+5+6=21.又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为http://fmn.rrimg.com/fmn065/20130326/1025/original_jECm_550f00001e801191.jpg.

　　点评：上述解法通过有限项列举，再归纳，猜想得到第五个等式，然而一般确定数列需要五个基本量，上面若改为第n个式子，以上右边的推理方法就不可靠了，所以此题如应用联想http://fmn.rrimg.com/fmn058/20130326/1030/original_Z6Az_552f00001ea51191.jpg处理为佳！

　　二、题设开放类型。

　　特点：给出结论，不给出条件或条件残缺。对策：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件.

　　例2 如图，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件__________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情况)

　　分析：

http://fmn.rrimg.com/fmn058/20130326/1030/original_gFFX_317d00001ea8118f.jpg

本题是题设开放探索型试题，即寻找结论A1C⊥B1D1成立的充分条件，由AA1⊥平面A1C1以及A1C⊥B1D1(平面A1C1的一条斜线A1C与面内的一条直线B1D1互相垂直)，容易联想到三垂线定理及其逆定理。因此，欲使A1C⊥B1D1，只需B1D1与CA1在平面A1C1上的射影垂直即可。显然，CA1在平面A1C1上的射影为A1C1，故当B1D1⊥A1C1时，有A1C⊥B1D1，又由于直四棱柱的上、下底面互相平行，从而B1D1∥BD，A1C1∥AC。因此，当BD⊥AC时，有A1C⊥B1D1。由于本题是要探求使A1C⊥B1D1成立的充分条件，故当四边形ABCD为菱形或正方形时，依然有BD⊥AC，从而有A1C⊥B1D1，故可以填：①AC⊥BD或②四边形ABCD为菱形，或③四边形ABCD为正方形中的任一个条件即可。

　　本例中，满足题意的充分条件不唯一，具有开放性特点，这类试题重在考查基础知识的灵活运用以及归纳探索能力。

　　三、结论开放类型。

　　特点：给出一定的条件而未给出结论。对策：执因索果，先寻找条件成立的充分条件，再通过检验或认证找到条件成立的充分条件.

　　例3 如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是_____________(要求把可能的图形的序号都填上)

http://fmn.rrimg.com/fmn064/20130326/1035/original_MkCb_704b00001edc1190.jpg

http://fmn.rrimg.com/fmn057/20130326/1030/original_vB46_619f00001f0a125b.jpg

　　解：由于正方体的6个面可分为互为平行的三对，而四边形BFD1E的在互为平行的平面上的射影相同，因此可把问题分为三类：a：在上、下两面上的射影为图②;b：在前、后两面上的射影为图②;c：在左、右两面上的射影为图③.综上可知，在正方体各面上的射影是图②或图③。

　　例4. 若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设http://fmn.rrimg.com/fmn064/20130326/1040/original_Hah5_55bf00001e9c1191.jpg的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组．（写出所有符合要求的组号）．①S₁与S₂；②a₂与S₃；③a₁与a_n；④q与a_n．(其中n为大于1的整数，S_n为http://fmn.rrimg.com/fmn064/20130326/1040/original_Hah5_55bf00001e9c1191.jpg的前n项和．)

　　解：(1)由S1和S2，可知a1和a2.由http://fmn.rrimg.com/fmn062/20130326/1040/original_CMRZ_54bf00001eca1191.jpg可得公比q，故能确定数列是该数列的“基本量”．

　　(2)由a2与S3，设其公比为q，首项为a1，可得http://fmn.rrimg.com/fmn063/20130326/1045/original_0dRR_680400001ec0118c.jpg

　　∴http://fmn.rrimg.com/fmn059/20130326/1045/original_vdBT_725800001f13125d.jpg

　　满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列的基本量.

　　(3)由a1与an，可得http://fmn.rrimg.com/fmn063/20130326/1050/original_u0PL_67e400001f08118c.jpg，当n为奇数时，q可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量．

　　(4)由q与an，由，故数列http://fmn.rrimg.com/fmn064/20130326/1040/original_Hah5_55bf00001e9c1191.jpg能够确定，是数列http://fmn.rrimg.com/fmn064/20130326/1040/original_Hah5_55bf00001e9c1191.jpg的一个基本量．故应填①、④.

　　四、题设和结论均开放类型。

　　特点：题设、结论都不确定或不太明确。对策：需要对所给的命题进行重新组合构成新的复合命题，然后进行逐一探求.应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力.

　　例5.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断： ①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 .

　　思路分析：本题给出了四个论断，要求其中三个为条件，余下一个为结论，用枚举法分四种情况逐一验证.

　　解：依题意可得以下四个命题：

　　(1)m⊥n， α⊥β， n⊥β m⊥α;(2)m⊥n， α⊥β， m⊥α n⊥β;

　　(3)m⊥α， n⊥β， m⊥α α⊥β;(4)α⊥β，n⊥β，m⊥α m⊥n.

　　不难发现，命题(3)、(4)为真命题，而命题(1)、(2)为假命题.故填上命题(3)或(4).

　　点评：本题的条件和结论都 不是固定的，是可变的，所以这是一道条件开放结论也开放的全开放性试题，本题可组成四个命题，且正确的命题不止一个，解题时不必把所有正确的命题都找出，因此本题的结论也是开放的.