确定论系统

确定论系统——描述其数学模型是不含任何随机因素的完全确定的方程的系统。

确定论系统不一定是完全确定的。这意思说确定论系统给出的条件是确定的，但运行的结果可以是不确定的。以牛顿力学为中心的经典物理学忽视了这一点，认为只要给定了初始条件，该确定论系统以后的所有状态都能事先预知。即使初始条件有小小的变化，同样可以精确的预言。牛顿的这种决定论观念，经过拉普拉斯的发展，到十九世纪中期达到顶峰。其标志是法国天文学家勒威耶根据牛顿力学计算，于1846年预言了海王星的轨道，几星期后德国天文学家加勒在该轨道上果真找到了这颗星。

牛顿力学的数学基础是欧氏几何和微积分，一个给它构造了时空模型，一个给它提供了计算工具，只要知道现在时刻物体的位置和速度（动能），就可以计算出此物体过去和未来的位置和速度（动能），换句话说，就可以知道它的运动轨线。它的数学含义就是给定一个微分方程和它的初值，然后求解这个微分方程。但事实上，绝大部分微分方程是不可求解的（没有解析解的）
不确定系统

不确定系统的研究是从赌博开始的，这就是概率论，数理统计和随机过程。这个在经济方面目前用得很广泛，好理解但要深入却难。它在物理学的应用好象开始是热力学的布朗运动，气体分子的运动呈现统计特性。但由于这是一种投机理论，故很少把它作为理论基础。

在上个世纪（20世纪），量子理论的诞生，它却是建立在概率统计的基础上，最典型的是测不准原理，就是你无法同时测量到微观粒子的位置和动能，只能测到其中一个量，这样微分方程一开始就没有初始值，更谈不上求解了。

其实任何一个理论体系，都必须首先建立一些原则，公理和公设。相对论的创立，就在于爱因斯坦突破了牛顿的绝对时空概念，而提出光速不变性原理。量子力学的突破就在于它运用了概率统计，但就因为这个，爱因斯坦拒绝接受，因为他有一个更大的前提，就是“上帝不掷骰子”。所以有人也说量子理论是建立在沙砾中的宏伟大厦。谁对谁错，现在看起来是量子理论占了先机，但以后呢？谁也不知道。

混沌系统

混沌——确定性系统的不确定现象。

混沌是确定论系统的随机行为的总称，它的根源在于非线性的相互作用。混沌不是混乱，它不同于平衡态，是一种序，是貌似无序的序。自然界中最常见的运动形态，往往既不是完全确定的，也不是完全随机的，而是介于两者之间，这就是研究确定论系统中随机行为的重要意义所在。要清晰地给混沌下定义，还要讨论决定论系统对初值的细微变化的依赖情况。有三种情况：

（1）系统对初值的不敏感依赖（决定论系统）：确定论系统的初值若改变很小，以致Δ0→0，则Δ→0即观测的两次运动无差别。也就是说：“初值相同，则运动相同。”单摆属于这种情况。牛顿力学常讨论这种类型的确定论系统。因而形成了经典的决定论观念（即只要知道初始条件就能确定任意时刻的状态）
（2） 系统对初值的敏感依赖（混沌系统）：某些确定论系统的初值稍稍变化（测不出来），经过一段时间后，各次的差别却明显表现出来（测量出“运动各异”）。在此情况下，以实验观察系统的运动是不可重复、不可预测的，表现出“随机性”。这就是混沌运动。

（3） 系统对初值的完全毫不依赖（非决定论系统即随机系统）：即初值一点不影响以后的行为。

对初值不敏感依赖的系统，可以是线性的也可以是非线性的。但对初值敏感依赖的系统却只有非线性的才有可能。确定论系统的随机性是由非线性所致。

单摆和布朗运动是两种极端情况，自然界中常见的运动形态，往往既不是完全确定的，也不是完全随机的，而是介于二者之间。因此混沌系统是非常广泛的。

混沌现象19世纪就观察到了，但由于混沌的研究非常复杂，需要很高的数学要求，所以当时没有进展。计算机的广泛应用，为人类，也为数学家打开了另外一个窗口。在求解微分方程上，有了一种称之为数值解的东西。于是混沌第一次被提出在1975年。混沌理论是近年来非线性科学取得的重要成果。

混沌的特征：

总结混沌现象可知有如下几个基本特征：

1、 内在随机性：从确定性非线性系统的演化过程看，它们在混沌区的行为都表现出随机不确定性。然而这种不确定性不是来源于外部环境的随机因素对系统运动的影响，而是系统自发产生的。

2、初值敏感性：对于没有内在随机性的系统，只要两个初始值足够接近从它们出发的两条轨线在整个系统溟过程中都将保持足够接近。但是对具有内在随机性的混沌系统而言，从两个非常接近的初值出发的两个轨线在经过长时间演化之后，可能变得相距“足够”远，表现出对初值的极端敏感，即所谓“失之毫厘，谬之千里”。下面的蝴蝶效应说明这一点。

3、非规则的有序：混沌不是纯粹的无序，而是不具备周期性和其他明显对称特征的有序态。确定性的非线性系统的控制参量按一定方向不断变化，当达到某种极限状态时，就会出现混沌这种非周期运动体制。但是非周期运动不是无序运动，而是另一种类型的有序运动。混沌区的系统行为往往体现出无穷嵌套自相似结构，这种不同层次上的结构相似性是标度变换下的不变性，这种不变性体现出混沌运动的规律。

奇怪吸引子

1971年茹勒和泰肯斯提出的 “奇怪吸引子”理论，并不只对湍流的研究有重要意义，而是对整个混沌理论的发展都有重要作用。一般的动力系统，最终都会趋向于某种稳定态，这种稳定态在相空间里是由点（某一状态）或点的集合（某种状态序列）来表示的。这种点或点的集合对周围的轨道似乎有种吸引作用，从附近出发的任何点都要趋近于它；系统的运动也只有到达这个点或点集上才能稳定下来并保持下去，这种点或点集就是“吸引子”。它表示着系统的稳定定态，是动力系统的最终归缩，即系统行为最终被吸引到的相空间处所。

经典力学指出，有三种类型的吸引子。一种是稳定的不动点，它代表一个稳定定态；第二种是稳定的“极限环”，即相空间中的封闭轨线，在它外边的轨线都向里卷，在它里边的轨线都向外伸，都以这个封闭曲线为其极限状态。极限环代表一种稳定的周期运动；第三类吸引子是稳定的环面，代表系统的准周期运动。

对一个动力系统来说，在长时间后系统的性态只可能是吸引子本身，其它的性态都是短暂的。所以吸引子的一个重要特征是“稳定性”，它表示着运动的最终趋向或“演化目标”，运动一旦进入吸引子，就不会再离开它；当一个小的扰动使系统暂时偏离吸引子后，它也必然会再返回来的。吸引子的另一个重要特征是“低维性”，它作为相空间的点集合，其维数必定小于相空间的维数。

上述几类吸引子，都代表规则的有序运动，所以只能用于描述经典动力系统，而不能描述混沌运动。有耗散的混沌系统的长期行为也要稳定于相空间的一个低维的点集合上，这些点集合也是一种吸引子。但是混沌之所以是混沌，就是它绝不可能最终到达规则的有序运动；因而在它的吸引子内部，运动也是极不稳定的。在这种吸引子上，系统的行为呈现典型的随机性，是活跃易变和不确定的。更为奇特的是，混沌系统的吸引子（点集合）具有极其复杂的几何图象，如果没有电子计算机这种高效工具，混沌吸引子是无法绘制出来的。所以茹勒和泰肯斯把它们称为“奇怪吸引子”，以区别于前述那几种“平庸吸引子”。奇怪吸引子既具有稳定性和低维性的特点，同时还具有一个突出的新特点，即非周期性——它永远不会自相重复，永远不会自交或相交。因此，奇怪吸引子的轨线将会在有限区域内具有无限长的长度。

洛仑兹所给出的那个绕两叶回转的永不重复的轨线，就是一个奇怪吸引子——“洛仑兹吸引子”。它是在三维空间里的一类双螺旋线；系统的轨道在其中的一叶上由外向内绕到中心附近，然后突然跳到另一叶的外缘由外向内绕行；然后又突然跳回原来的那一叶上。但每一叶都不是一个单层的曲面，而是有多层结构。从中取出任意小的一个部分，从更精细的尺度上看，又是多层的曲面。所以这种螺旋线真是高深莫测、复杂异常。它永远被限制在有限的空间内，却又永不交结，永无止境。 1976年，德国的若斯勒考察了一个更为简化的洛仑兹方程

dx/dt=-(y+z)

dy/dt=x+ay

dz/dt=b+xz-cz

这个方程组的特点是只有最后一个方程中含有非线性项xz。若斯勒由这个方程组得出了一个洛仑兹吸引子的变种若斯勒吸引子。

它也是由很多层次构成的复杂几何图象。与洛仑兹吸引子不同，若斯勒吸引子只有一片。它似乎是这样形成的：当z较小时，系统的轨道在(x，y)平面或平行于它的平面内向外旋；当x足够大时，z开始起作用，轨道在z轴方向拉长；当z变大后，dx/dt则变小，轨道又被拉回到x较小处。三个变量的交互作用，产生了轨线的复杂运动。

除此之外，混沌学家们还得到了一些其它的奇怪吸引子。可以断言，充分认识奇怪吸引子的作用，对许多问题的探索，都会有巨大的作用。不过，奇怪吸引子的数学理论是困难的，目前还处于起始的阶段。正像茹勒所说：“这些曲线的花样，这些点子的影斑，往往使人联想到五彩缤纷的烟火，或宽阔无垠的银河；也往往使人联想到奇怪的、令人烦躁不安的植物繁殖。一个崭新的领域展现在我们面前，其结构需要我们去探索，其协调（和谐）需要我们去发现。”

“蝴蝶效应”

无规性的源泉在于初始条件的选择。一个动力系统的行为或运动轨道决定于两个因素。一个是系统的运动演化所遵从的规律，如牛顿定律；一个是系统的初始状态，即初始条件。经典力学指出，一个确定性系统在给定了运动方程后，它的轨道就唯一地取决于初始条件，一组初始值只有一条轨道，这就是系统行为对初值的依赖性。

但是，任何测量都是有误差的，所以任何时候都不可能绝对精确地测定初始值。实验上给出的初值都只能是近似的。这个误差对系统的行为会不会有严重影响呢？经典力学断言，系统的行为或运动轨道对初值的依赖是不敏感的，知道了一个系统近似的初始条件，系统的行为就能够近似地计算出来。这就是说，从两组相接近的初值描绘出的两条轨道，会始终相互接近地在相空间里偕游并行，永远不会分道扬镳，泛泛的小影响不会积累起来形成一种大的效应。

混沌研究却粉碎了传统科学中这种对近似性和运动的收敛性的信仰。处在混沌状态的系统，或者更一般地说对于一个非线性系统，运动轨道将敏感地依赖于初始条件。洛仑兹已经发现，从两组极相邻近的初始值出发的两条轨道，开始时似乎没有明显的偏离，但经过足够长的时间后，就会呈现出显著的差异来。这就是说，初值的微小差异，在运动过程中会逐渐被放大，终会导致运动轨道的巨大偏差，以至于这种偏差要多大就有多大。在科学实验中，一种变化过程可能有一个临界点，在这一点上，一个微小的扰动可能被放大成一个重大的变化。而在混沌中，这种点无处不在，确定性系统初值的微小差异导致了系统整体的混沌后果。

小的误差竟能带来巨大的灾难性后果，这一点早在1908年就被目光敏锐的庞加莱洞察到了。他在他的名著《科学与方法》中写道：

我们觉察不到的极其轻微的原因决定着我们不能不看到的显著结果，于是我们说这个结果是由于偶然性。如果我们可以正确地了解自然定律以及宇宙在初始时刻的状态，那么我们就能够正确地预言这个宇宙在后继时刻的状态。不过，即使自然定律对我们已无秘密可言，我们也只能近似地知道初始状态。如果情况容许我们以同样的近似度预见后继的状态，这就是我们所要求的一切，那我们便说该现象被预言到了，它受规律支配。但是，情况并非总是如此；可以发生这样的情况：初始条件的微小差别在最后的现象中产生了极大的差别；前者的微小误差促成了后者的巨大误差。预言变得不可能了，我们有的是偶然发生的现象①。这一段几乎是百年前的话，不正是我们近几十年才揭开的混沌来源之谜吗？

洛仑兹从他关于长期天气预报的研究中悟出的正是这个道理。对于任何小块地区气候变化的误测，都会导致全球天气预报的迅速失真。不论气象观测站的网点如何密集，都不可能覆盖整个地球和从地面到高空的每一高度。在一尺之遥的空间范围内的一点气象涨落，都可能迅速波及到一尺之外、十尺之外、百尺之外的空间，小误差通过一系列湍流式的链锁反应，集结起来而成十倍、百倍、千倍地膨胀扩大，终于使天气预报变成一派胡言，在跨洋隔洲的地区形成山雨欲来风满楼的景象。洛仑兹非常形象地比喻说：巴西亚马孙河丛林里一只蝴蝶扇动了几下翅膀，三个月后在美国的得克萨斯州引起了一场龙卷风。人们把洛仑兹的比喻戏称为“蝴蝶效应”。这个看法当时并不为气象学家们所接受。据说洛仑兹把“蝴蝶效应”说给他的一个朋友以说明长期天气预报不可能时，他的朋友回答说“预报不会成为问题”，“现在是要搞气象控制”。洛仑兹却不这样看，他认为，人工改变气候当然是可能的；但是当你这样做时，你就无法预测它会产生什么后果。

“斯梅尔马蹄”

简单的确定性系统如何会导致长期行为对初值的敏感依赖性呢？理解这一点的关键是要理解混沌的几何特性，即由系统内在的非线性相互作用在系统演化过程中所造成的“伸缩”与“折叠”变换。美国拓扑学家斯梅尔（Smale，Stephen 1930～）对此做出了重要贡献。

斯梅尔是一个杰出的拓扑学家，本来在多维拓扑学的一些最奇特的问题上已经卓有成就。1958年，他开始对动力系统的微分方程进行深入研究，并发表了一篇过于乐观的论文。他在这篇论文里提出了一个错误的猜想。他用极为严谨的数学语言论证说，一切动力系统最终都将进入一个并不十分奇异的行为；或者说，典型的动力学行为是定态的或周期的。虽然，一个动力系统可能会出现离奇古怪的性态，但斯梅尔认为这种性态不会是稳定的。后来斯梅尔曾回忆说：“我的过分乐观引导我在那篇论文里认为，几乎所有常微分方程系统都是这样一些（结构稳定的）系统！”他说如果他多少了解些庞加莱、伯克霍夫等人的文献，他就不会有那种愚蠢的思想。

1959年圣诞节后，斯梅尔一家正在巴西首都里约热内卢暂住，他接到了他的朋友莱文松（Levinson，N.）的一封信，指出他的猜想是错误的，并告诉他自己关于受迫范德坡方程的研究已经提供了一个反例。早在本世纪20年代，德国物理学家范德坡（Van der Pol，B.）就已开始研究非线性电路的弛豫振荡问题，并得出了以他的名字命名的范德坡方程和受迫范德坡方程。1927年，范德坡又