6. 赤道坐标

天空的赤道坐标建立在行星的旋转轴上。 赤道坐标用赤经α (alpha)和赤纬 δ (delta)表示。赤纬决定物体在行星的哪部分能被看见，赤经决定何时能被看见。

由黄道坐标计算赤道坐标的公式如下：

(公式8) sin α cos δ = sin λ cos ε cos β − sin β sin ε

(公式9) cos α cos δ = cos λ cos β

(公式10) sin δ = sin β cos ε + cos β sin ε sin λ

对太阳有β_sun = 0，得

(公式11) α_sun = arctan (sin λ_sun cos ε, cos λ_sun)

(公式12) δ_sun = arcsin (sin λ_sun sin ε)

定义：

(公式13) α_sun = λ_sun + S

若ε足够接近于0°或180°，且忽略小项，则近似计算赤经α_sun和黄经λ_sun：

(公式14) arctan(tan(λ) cos(ε)) = λ − ((¼) ε² + (1⁄24) ε⁴ + (17⁄2880) ε⁶) sin(2 λ) + ((1⁄32) ε⁴ + (1⁄96) ε⁶) sin(4 λ) − (1⁄192) ε⁶ sin(6 λ) + O(ε⁸).

(公式15) α_sun = λ_sun + S ≈ λ_sun + A₂ sin(2 λ_sun) + A₄ sin(4 λ_sun) + A₆ sin(6 λ_sun)

赤纬δ_sun和黄道距离：

(公式16) arcsin(sin(λ) sin(ε)) = (ε − (1⁄6) ε³ + (1⁄120) ε⁵) sin(λ) + ((1⁄6) ε³ − (1⁄12) ε⁵) sin(3 λ) + (3⁄40) ε⁵ sin(5 λ) + O(ε⁷)

(公式17) δ_sun ≈ D₁ sin(λ_sun) + D₃ sin(λ_sun)³ + D₅ sin(λ_sun)⁵

其中A₂, A₄, A₆, D₁, D₃,和D₅ (单位度)列于下表. E_A和E_D列为计算α_sun和δ_sun的最大误差

Table 4: 赤经和赤纬近似计算

天王星的近似很差，因其几乎躺在轨道上。最好使用完全公式计算天王星。

As seen from Earth, and using equation 11, we find: α_sun = arctan(sin(12.0321°) * cos(23.45°), cos(12.0321°)) = 11.0639°, and with equation 12 we find δ_sun = arcsin(sin(12.0321°) * sin(23.45°)) = 4.7585°.

As seen from Mars, we find α_sun = arctan(sin(13.0435°) * cos(25.19°), cos(13.0435°)) = 11.8398° and δ_sun = arcsin(sin(13.0435°) * sin(25.19°)) = 5.5123°.

Using equations 15 and 17 we find for the Earth α_sun = 12.0321° − 2.468° * sin(2 * 12.0321°) + 0.053° * sin(4 * 12.0321°) − 0.0014° * sin(6 * 12.0321°) = 11.0639° and δ_sun = 22.8008° * sin(12.0321°) + 0.5999° * sin(12.0321°)³ + 0.0493° * sin(12.0321°)⁵ = 4.7585° and for Mars α_mars = 13.0435° − 2.8605° * sin(2 * 13.0435°) + 0.0712° * sin(4 * 13.0435°) − 0.0022° * sin(6 * 13.0435°) = 11.8397° and δ_mars = 24.387° * sin(13.0435°) + 0.7331° * sin(13.0435°)³ + 0.0706° * sin(13.0435°)⁵ = 5.5123°, so the approximations yield practically the same results in these cases as the full equations 11 and 12.

 

7. 观测者

天体在天空中的位置依赖于你所处的地理位置(纬度φ [phi] 北为正, 和经度l_w 西为正)、天体的赤道坐标α和δ、以及行星在你的位置相对于恒星的旋转角度。这个角度用恒星时来表示。恒星时就是通过天球子午线的恒星的赤经。恒星时等于：

(公式18) θ = θ₀ + θ₁ * (J − J₂₀₀₀) − l_w

with θ₀ and θ₁ from the next table.

Table 5: 恒星时

For the Netherlands on Earth we find θ_earth = 560529.8477° − (−5°) = 14.8477° (after subtracting multiples of 360°) and for Gusev on Mars θ_mars = 544897.8367° − 184.6° = 33.2367°.

天体在天空中的位置由水平线上的高度角h 和方位角A 来表示。水平线上高度角为0，正天顶高度角为 +90° 天底为−90°。方位角为水平的方向，从南开始转向西。正南方位角0°，正西 +90°，正北+180°，正东+270°。高度角和方位角是地平坐标。由赤道坐标计算地平坐标，使用以下公式：

(公式19) sin A cos h = sin H cos δ

(公式20) cos A cos h = cos H sin φ cos δ − sin δ cos φ

(公式21) sin h = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos H

(公式22) H = θ − α

(公式23) A = arctan(sin H, cos H sin φ − tan δ cos φ)

其中H 为时角，指示多长时间之前（使用恒星时量度），天体经过子午线。

For the Netherlands on Earth we find H = 3.7838° so A = arctan(sin(3.7838°), cos(3.7838°) * sin(52°) − tan(4.7585°) * cos(52°)) = 5.1302° and h = arcsin(sin(52°) * sin(4.7585°) + cos(52°) * cos(4.7585°) * cos(3.7838°)) = 42.6542°.

For Gusev on Mars we find H = 21.3969° and A = arctan(sin(21.3969°), cos(21.3969°) * sin(−14.6°) − tan(5.5123°) * cos(−14.6°)) = 131.9648° and h = arcsin(sin(−14.6°) * sin(5.5123°) + cos(−14.6°) * cos(5.5123°) * cos(21.3969°)) = 60.7657°. At 12:00 UTC on 1 April 2004, the Sun as seen from the Netherlands stands about 5° west of south at 43° above the horizon, and as seen from the Gusev crater on Mars the Sun then stands about 3° south by northwest at 61° above the horizon.

 

8. 太阳中天

天体通过天球子午线的时刻称为中天。太阳中天的时间为正午，太阳时12点，这时太阳的时角H = H_target 等于0。有公式：

(公式24) θ = α_sun + H_target mod 360°

为后面使用方便，在公式中保留H 。使用公式24和前面的公式，可以得到通过儒略日J猜测中天时间，计算θ和α_sun看他们满足不满足公式24。如果不满足，那么需要调整J。总的说来，这是一个寻找正确 J的过程。进一步，公式24没有帮助你理解对于太阳中天什么是最重要的。你可以通过忽略小项来得到这种认识。答案可能不那么精确，但是清楚的指出了解的正确样式，通常也容易计算，并可以为寻找J真值提供了一个非常好的猜测开始值。

由公式7，5，15，18，忽略小项，可以得到

(公式25) J_transit ≈ J₂₀₀₀ + (H_target + M₀ + Π + 180° − θ₀ + l_w + C₁ sin M + A₂ sin(2 L_sun))/(θ₁ − M₁) mod 360°/(θ₁ − M₁) = J₂₀₀₀ + J₀ + (H_target + l_w) * J₃/360° + J₁ sin M + J₂ sin(2 L_sun) mod J₃

其中

(公式26) L_sun = M + Π + 180°

(公式27) J₀ = (M₀ + Π + 180° − θ₀) J₃/360° mod J₃

(公式28) J₁ = C₁ J₃/360°

(公式29) J₂ = A₂ J₃/360°

(公式30) J₃ = 360°/(θ₁ − M₁)

如果已知λ_Sun，可以用它代替公式25中的L_Sun ，这会更精确。J₀ 提供太阳中天的日期和时间。 J₁ 显示由于轨道偏心率e而引起的中天时间的改变。 J₂ 指示由于黄赤交角ε而引起的中天时间改变。 J₃ 是太阳日的平均长度 (两次中天之间)。所有时间都用24小时的地球日量度。

Table 6: 正午

为了计算太阳在儒略日J附近中天的日期和时间，可以按照下面的步骤进行：

1. 计算

(公式31) n_(*) = (J − J₂₀₀₀ − J₀)/J₃ − (H_target + l_w)/360°

然后取n 为最接近n_(*)的整数。

2. 计算

(公式32) J_(*) = J₂₀₀₀ + J₀ + (H_target + l_w) * J₃/360° + J₃ * n

其中的J_(*) 是对太阳在儒略日J 附近中天时间的合理估计，但并不包括J₁ 和J₂ 订正。

3. 计算J_(*)对应的M 和L_sun ，通过下式得到一个中天时间的更好估计。

(公式33) J_transit ≈ J_(*) + J₁ sin M + J₂ sin(2 L_sun)

4. 如果想要更好的精度，那么计算J_transit时角时刻，使用J_transit + (H_target − H)/360° * J₃ 作为 J_transit.的改进值 ，重复这一步直至J_transit 不再变化。
5. J_transit 是儒略日，是在12:00 UTC为整数的一个日数。因此儒略日2453096.9898 小数点后的 .9898 表示下一个整数日之前.0102天，也就是说，0.0102 days = 0.0102*24 = 0.245 小时= 0.0102*24*60 = 大约 15 分钟后是12:00 UTC，即大约 11:45 UTC。

For our example, we looked near J = 2453097. Which solar transit is closest to that in the Netherlands and in Gusev crater on Mars?

For the Netherlands (l_w = −5°) we find n_(*) = (2453097 − 2451545 − 0.0009)/1 − (−5°)/360° = 1552.013, so n = 1552, so J_(*) = 2451545 + 0.0009 + (−5°) * 1⁄360° + 1 * 1552 = 2453096.9870 (with H_target = 0. For the value of M for J_(*) we take the value we found for J, because the difference is negligible, so M = 87.1807° and L_sun = 87.1807° + 102.9372° + 180° = 370.1179° = 10.1179°. With that, we find J_transit = 2453096.9869 + 0.0053 * sin(87.1807°) − 0.0069 * sin(2 * 10.1179°) = 2453096.9898. If you use the repetition method to increase the accuracy, then you get J_transit = 2453096.9895. The solar transit at 5° east longitude happens on 1 April 2004 around 11:45 UTC.

For the Gusev crater on Mars (l_w = 184,6°) we find n_(*) = (2453097 − 2451545 − 0.9044)/1.02749 − 184.6°/360° = 1509.084, so n = 1509, so J_(*) = 2451545 + 0.9044 + 184.6° * 1.02749⁄360° + 1509 * 1.02749 = 2453096.9137. For M we take the value that we found earlier, so M = 112.6531° and L_sun = 112.6531° + 70.9812° + 180° = 363.6343° = 3.6343°. With that, we find J_transit = 2453096.9137 + 0.0305 * sin(112.6531°) − 0.0082 * sin(2 * 3.6343°) = 2453096.9408. Using the repetition method, this becomes J_transit = 2453096.9392. The solar transit in Gusev crater happens on 1 April 2004 around 10:32 UTC.