部分练习题参考答案：

P.72十二题：分别求下列真值形式的合取范式和析取范式，并确定它们的真值类型：

 

1.（p→q）→（~p∨q）

消去“→”：  ~（~p∨q）∨（~p∨q）

内移“~”： （~~p∧~q）∨（~p∨q）

消去“~~”： （p∧~q）∨（~p∨q）

展开：      （p∨~p∨q）∧（~q∨~p∨q）

从上述合取范式可以判定，原公式为重言式。

 

2.（p∧~q）«（~p∨q）

消去“«”： （（p∧~q）∧（~p∨q））∨（~（p∧~q）∧~（~p∨q））

内移“~”：  （（p∧~q）∧（~p∨q））∨（（~~p∨~~q）∧（~~p∧~q））

消去“~~”： （（p∧~q）∧（~p∨q））∨（（p∨q）∧（p∧~q））

化简：       （p∧~q）∧（~p∨q）

展开：       （p∧~q∧~p）∨（p∧~q∨q）

由此可知，原公式为矛盾式。

 

3. ~q→（（p→q）→~p）

消去“→”：  ~~q∨（~（~p∨q）∨~p）

消去“~~”： q∨（~（~p∨q）∨~p）

内移“~”：  q∨（（~~p∧~q）∨~p）

消去“~~”： q∨（（p∧~q）∨~p）

展开：      （q∨p∨~p）∧（p∨~q∨~p）

可见原公式为重言式。

 

4.（~q→（p→q））→~p

消去“→”： ~（~~q∨（~p∨q））∨~p

内移“~”： （~~~q∧（~~p∧~q））∨~p

消去“~~”：（~q∧（p∧~q））∨~p

展开：     （~q∨~p）∧（p∨~p）∧（~q∨~p）

由此可以证明，公式为非重演可满足式。

 

十四题：构造自然推理，断定下列推理的有效性：

 

1.       如果不是小张和小李都不去春游，小王一定去春游；小张决定去春游，因此，小王一定去春游。

②      {1}       ~（~p∧~q）→r             P

②   {2}       p                          P

③      {1}       ~~（~p∧~q）∨r            T①蕴涵否析律

④      {1}      （~p∧~q）∨r               T③双否

⑤      {1}      （~p∨r）∧（~q∨r）        T④分配律

⑥      {1}       ~p∨r                      T⑤∧-

⑦      {1.2}      r                         T②⑥∨-

 

 

1.       如果在有限长的线段L上存在无限多个点的话（p），那么，如果这些点有长度（q），则L将无限长（r）；如果这些点没有长度，则L也将没有长度（s）。而一个有限长的线段不可能无限长，也不可能没有长度。因此，在有限长的线段上不可能存在无限多个点（~p）。

①     {1}        p→（q→r）                 P

②     {2}        ~q→s                       P

③     {3}        ~r∧~s                      P

④     {4}        p                          P

⑤     {1.4}       q→r                       T①④分离律

⑥     {3}        ~r                          T③合取分解

⑦     {3}        ~s                          T③合取分解

⑧     {1.3.4}     ~q                         T⑤⑥否后律

⑨     {1.2.3.4}   q                          T②⑦否后律

⑩     {1.2.3.4}   q∧~q                      T⑧⑨合区组合

⑾  {1.2.3}    ~p                          归谬④⑩

 

3.       如果谈判要举行（p）的话，必须定于周三（q）或周五（r）；如果定于周五，则总经理就不能出席（~s）；但总经理一定要出现。因此，只有定于周三，才能举行谈判。

①     {1}     p→（q∨r）                    P

②     {2}     r→~s                          P

③     {3}     s                              P

④     {4}     ~q                             P

⑤     {2.3}   ~r                             T③否后律

⑥     {1}     ~（q∨r）→~p                  T①假言易位

⑦     {2.3.4}  ~q∧~r                        T④⑤合取组合

⑧     {2.3.4}  ~（q∨r）                     T⑦德摩根律

⑨     {1.2.3.4}  ~p                          T⑥⑧分离律

⑩     {1.2.3}  ~q →~p                       D④⑨

 

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