某小同学问一数学题，由于久疏战阵，咱家一时没想到解法。古人云，一事不知以为深耻，今人说，小学题不会属八荣九耻，所以咱家就对着久未谋面的演算纸努力挖掘着久远的记忆，算是借机聊发一下数学狂。某老江湖说，世界上怕就怕认真二字，所以咱家一认真起来，也真鼓捣出了解法。因为不知正确与否，所以顺手晒到这里，以就教于各位数学大虾。 
    由于此题看来很简单很优美，所以就多琢磨了一会儿。常言道世界上怕就怕多琢磨一会儿，这不，还整了个一题多解。

    请看题吧。

    问题：已知a，b都是奇数，证明连乘式ab(a+b)(a-b)可以被24整除。
    分析：可以被24整除，就是说同时可以被3和8整除。
    证明一：
    不妨认为a>b,这样我们就可以把奇数a表达为a=b+2n(n为自然数）,则
    原式=(b+2n)b(b+2n+b)(b+2n-b)=4nb(b+2n)(b+n)
    先证明原式是3的倍数。观察b,(b+2n),(b+n)三个数，我们发现其中必有一个可以被3整除的，（因为如果b，n两个数至少有一个可以被3整除，则结论成立；b，n两个数都不可以被3整除，则余数为1或2，如果余数同

时是1或2，则b+2n可以被3整除，如果余数一个为1另一个为2，则b+n可以被三整除）所以，原式一定是3的倍数。
    再证明原式是8的倍数。原式已经明显是4的倍数，只要n，(b+2n)，(b+n)中有一个偶数即可。如果n是偶数，则结论成立；如果n是奇数，则b+n一定是偶数，结论也成立。

    证明二：

    用数学归纳法。

    原式=(b+2n)b(b+2n+b)(b+2n-b)=4nb(b+2n)(b+n)
    显然，当n=1时，结论成立（原式=4nb(b+2n)(b+n)=4b(b+2)(b+1)，b(b+2)(b+1)是3个连续自然数，必然有一个是3的倍数，且其中必有一个偶数，所以b(b+2)(b+1)一定是6的倍数，也就是说原式是24的倍数）。
    设n=k时结论成立，就是说4kb(b+2k)(b+k)可以被24整除。

    当n=k+1时，结论也是成立的（因为观察证明一的过程，将n代换成n+1时，同理可以得到证明。还不明白？当n=k+1时，原式=4（k+1）b(b+2k+2)(b+k+1)，当（k+1）是偶数时原式可以被8整除，当（k+1）是奇数时，(b+k+1)必是偶数，原式也可以被8整除；原式可以被3整除的证法同证明一）。
    证毕。

    经过认真分析，这个题还有其它各种解法，我们将它分解成证明原式是3的倍数和是8的倍数两个步骤。并给出以下解法。
    一、证明原式是3的倍数的其它方法。
    证明一：观察原式ab(a+b)(a-b)，如果a，b中至少有一个可以被3整除，则结论已经成立；如果a，b两个数都不可以被3整除，则其余数分别为1或2（如果同余1或2，则a-b可以被3整除;如果一个余1另一个余2，则a+b

可以被3整除），这说明a+b，a-b中必有一个可以被3整除，故结论成立。
    证明二：如果a，b至少有一个可以被3整除，那么原式可以被3整除。

            如果a，b都不可以被3整除，则被3除后的余数为同是1，同是2，或者一个2一个1。余数为同是1，则它们可以表达为：a=3x+1,b=3y+1,此时(a+b)(a-b)=（3x+3y+2）3（x-y），所以可以被3整除，其它两种情况可以用同样方式得到证明。

    证明三：观察原式ab(a+b)(a-b)，如果a，b中至少有一个可以被3整除，则结论已经成立；如果a，b两个数都不可以被3整除，(a+b)(a-b)一定可以被3整除（因为(a+b)(a-b)=a平方减b平方，a，b同余时，a平方、b平方也同余，可被3整除；a，b不同余时，则a平方减b平方的余数为3，当然可以被3整除）。

    二、证明原式是8的倍数的其它方法。
    证明一：因为a，b都是奇数，所以它们可以表达为：a=2x+1,b=2y+1,

    原式=（2x+1）（2y+1）（2x+1+2y+1）（2x+1-2y-1）
         =4（2x+1）（2y+1）（x+y+1）（x-y）
          如果x,y同偶或同奇，则x-y是偶数；如果x,y一个偶一个奇，则x+y+1是偶数。所以原式是8的倍数。
    证明二：把奇数a表达为a=b+2n，则ab(a+b)(a-b)=4nb(b+2n)(b+n)，如n为偶数，则结论已经成立，如n为奇数，则b+n为偶数（因为b是奇数）。从而原式是8的倍数。
    证明三：(b+a)(b-a)=b平方减去a平方，可以视为两个正方形面积之差，如下图（大正方形边长为b，小正方形边长为a）。因为a，b都是奇数，所以这两个正方形可以是“同心”的。

    图中大正方形的面积挖去中间小正方形面积后，得到的剩余部分就是“b平方减去a平方”，也就是(b+a)(b-a)，它可以按如图的方法分成四个等份，每一份都和上方用阴影表示的矩形全等，且面积为整数。所以(b+a)(b-a)可以被4整除。
    以下只要证明这四个矩形的面积都可以被2整除即可证明原式可以被8整除。因为用阴影表示的矩形的两条边相加正好等于b,而根据题意b是奇数，所以矩形的两条边相加是一个奇数，从而两条边的长度为一偶一奇，也就是说用阴影表示的矩形的面积是偶数，从而可以分成二等份，且每一等份都是整数，也就是说可以被2整除。

    所以(a+b)(a-b）可以被8整除。

    意想不到的是，在分析的过程中，还产生了两个副产品，也秀在这里吧。

    副产品1：如果a，b都是奇数，则(a+b)乘以(a-b)必可以被8整除。
    副产品2：如果a，b都是自然数，则 (a-b)a(a+b)必可以被3整除。