雅可比矩阵

以m个n元函数u=ui(x1, x2, ..., xn)的偏导数(其中,i=1,..,m; j=1,...,n)为元素的矩阵:

如果把原来的函数组看作点x(x1, x2, ..., xn)到点u(u1, u2, ..., um)的一个变换, 则在偏导数都连续的情况下, u随x的变化可由相应的微分方程组描述, 如下:

该方程组是一个关于微分的线性方程组,中其系数矩阵即是上面的雅可比矩阵, 记为J, 因此可写成矩阵形式:

应用一:机器人学

下图是一个两自由度的平面机械手

容易求得未端点的位置为:

对其微分, 可得:

写成矩阵形式:

简写为dx=Jdθ, 其中的J称之为机械手的雅可比矩阵,反映了关节微小位移dθ与手部（手爪）微小运动dx之间的关系.

它可看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比,同时也可用来表示两空间之间力的传递关系.

 假设关节速度为,未端点速度为 ,对dx=Jdθ两端同除以dt, 得

因此, 机械手的雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空间速度的线性变换,v为机械手未端在操作空间的广义速度, 或称操作速度, w为关节速度.

以上可以扩展到三维空间多自由度的情形.

应用二，非线性最小二乘

  如果定义 ri(x)=yi-f(ti,x) (其中i=1,...,m）为残留函数。

则问题为函数：

          F(x)=r(x)r(x)  的最小化问题。

   这里的ri(x)，即是前面的ui。只不过(ti, yi)作为不同的采样点，产生不同的ui，但它们形式是一样。采样点个数即ui的个数。

F(x)在xk 处的泰勒展开为：

这里的为梯度向量，Ak为F(x)的Hessian矩阵（二阶导矩阵）。

根据牛顿法有：

由于

，其中为ri(x)的Hessian矩阵。

因此，步长可通过解关于r(xk)、r(xk)的Jaccobi矩阵和Hessian矩阵的线性方程求解：

 如果把上式中的一项去掉，就得到高斯-牛顿法；如果用ukI来代替，就得到Levenberg-Marquardt法。