抽象是从许多事物中舍弃个别的、非本质属性，得到共同的、本质属性的思维过程，是形成概念的必要手段。最初的抽象是基于直观的，正如康德所说：

人类的一切知识都是从直观开始，从那里进到概念，而以理念结束。

对于数学，抽象主要包括两个方面的内容：数量与数量关系，图形与图形关系。这就意味着，数学的抽象不仅仅要抽象出数学所要研究的对象，还要抽象出这些研究对象之间的关系。与研究对象的存在性相比，研究对象之间的关系更为本质。

人们把现实生活中的数量抽象为数，形成自然数，并且用十个符号和数位进行表示，得到了自然数集。在现实生活中，数量关系的核心是多与少，人们又把这种关系抽象到数学内部，这就是数的大与小。后来，人们又把大小关系推演为更一般的序关系。

由大小关系的度量产生了自然数的加法，由加法的逆运算产生了减法，由加法的简便运算产生了乘法，由乘法的逆运算产生了除法。因此，数的运算本质是四则运算，这些运算都是基于加法的。通过运算的实践以及对运算性质的研究，抽象出运算法则。为了保证运算结果的封闭性，就实现了数集的扩张。在本质上，数集的扩张是因为逆运算：为了减法运算的封闭，自然数集扩张为整数集；为了除法运算的封闭，整数集扩张为有理数集。

数学还有第五种运算——极限运算，涉及数以及数的运算的第二次抽象。为了很好地描述极限运算，需要解决实数的运算和连续；为了很好地定义实数，需要解决无理数的定义和运算；为了清晰定义无理数，需要重新认识有理数。于是，小数形式有理数的出现，完全背离了用分数形式表达有理数的初衷。这个初衷就是：有理数是可以用整数表示的数。它表述的现实背景是：部分与整体的关系，或者，线段长度之间的比例关系。

1872年，基于小数形式的有理数，康托用基本序列的方法，通过有理数列的极限定义了实数，解决了实数的运算问题；戴德金用分割的方法，通过对有理数的分割定义了实数，解决了实数的连续性问题。1889年，皮亚诺构建算术公理体系，重新定义了自然数。1908年，策梅洛给出了集合论公理体系。借助这一系列的工作，人们终于合理地解释了数和数的运算，合理地解释了微积分，构建了现代数学中关于数及其运算的理论基础。

由此可见，虽然人们在很早以前就抽象出了数以及四则运算，抽象出了数与数之间的关系，甚至建立了基于极限运算的微积分，但到了20世纪初，人们才合理地解释了什么是数，以及各种关于数的运算及其法则。

图形与图形关系的抽象，也经历了同数量与数量关系相似的抽象过程。现实世界中的图形都是三维的，几何学家研究的对象，诸如点、线、面等都是抽象的产物。欧几里得用揭示内涵的方法给出了点、线、面的定义，比如，点是没有部分的那种东西。但是，凡是具体的陈述就必然会出现悖论：按照这样的定义，应当如何解释两条直线相交必然交于一点呢？两条直线怎么能交到没有部分的那种东西上呢？此外，空气是没有部分的，空气是不是点呢？即便如此，欧几里得几何仍然是数学抽象的典范，支撑了数学两千多年的发展，并且成为近代物理学发展的基础，主要表现在伽利略和牛顿的工作中。

随着数学研究的深入，特别是非欧几何以及实数理论的出现，人们需要更加严格地审视传统的几何学。1898年，希尔伯特在《几何基础》这本书中，重新给出了点、线、面的定义：用大写字母A 表示点，用小写字母a 表示直线，用希腊字母 表示平面，这完全是符号化的定义，没有任何涉及内涵的话语。那么，完全没有内涵的定义也能成为数学的研究对象吗？事实上，希尔伯特更为重要的工作在于他给出的五组公理，这五组公理限定了点、线、面之间的关系，给出了集合研究的出发点，构建了几何公理体系。希尔伯特集合公理体系的建立，完成了几何学的第二次抽象。在形式上，几何学的研究已经脱离了现实。