恒比投资法是一种在证券波动中保持投资比例不变的投资方法。为了维持恒定的投资比例，在上涨时要抛出部分证券，在下跌时要买入部分证券，从而实质上达到了低买高卖的目的，并且永远不会踏空。

对于这种方法，我利用上证指数做过实证分析，结果不是很令人满意。而且实证分析中选择证券品种不同，选择时段不同，结论会有很大区别。因此，我决定从数学上进行分析，看看这种方法的收益率与哪些因素相关，求出它们的函数关系。

我们最感兴趣的问题是当投资比例b为多大时，总收益最高呢？

假设我们的恒定投资比例为b，每上涨或下跌a%（阈值）就调整一次仓位使其达到恒定比例b。考察一段时间的收益，假设这段时间因为上涨而卖出的次数为m，因为下跌而买入的次数为n，则总收益是：

    f=(1+ab)^m(1-ab)ⁿ。

下面求总收益最大时的b值。

首先对式两边取自然对数，得ln(f)=m*ln(1+ab)+n*ln(1-ab)。当它关于b的导数为0时，有极值。求关于变量b的导数，令其为0，解方程得当b=(m-n)/(m+n)/a时，收益率最大。这里，当m<n时，b<0，意味着融券卖空；当b>1时，即融资买入；当b=1时即满仓，b=0时即空仓。

把b=(m-n)/(m+n)/a代入第一个式子，得到最大收益率f=m^m * nⁿ / ((m+n)/2)^m+n。

令人惊讶的是，最大收益率与我们选取的阈值a无关，只与m,n的比例有关。也即波动率越大，导致的买卖次数越多，越能战胜指数。但在实际操作中，买卖次数m,n与我们选取的阈值a密切相关，a越小，m,n越大。a与m,n的关系，要从统计中得到了。可以统计不同的a值设定下m,n的具体数据。具体可以统计指数、具体股票、权证等的波动率。以上分析没有考虑手续费，当a较小时，操作频繁，手续费是一个重要的考虑因素，而且a越小，每次调整的幅度也越小，因此只适用于大资金。

本方法是否能战胜指数，是一个更令人感兴趣的问题。

如果b为1即为指数收益，所谓的战胜指数是指在指数上涨时，当b<1时的收益能否大于b=1时的收益。我们知道当b=(m-n)/(m+n)/a时收益最大，如果最佳比例b<1则说明能战胜指数。要使最佳比例b尽可能地小，m-n要尽可能地小，m+n要尽可能大，而a要尽可能地大，而后两者是矛盾的。而且m表示因上涨而卖出的次数，n表示因下跌而买入的次数，m-n越大才能收益越大，且指数涨得越多则m-n越大，所以本方法战胜指数的可能性不大。值得提及的是，在实际操作中，我们不能空置资金，而要买些固定收益的证券，比如债券，这样可以提高本方法的收益率，但固定收益债券的收益率与时间相关，我的分析中没有涉及时间，因此没有估计这个改进对收益的提升。

我们的结论是：能否战胜指数取决于波动的程度，波动越大，操作次数越多，战胜指数的可能性越大。

注，由于在下跌时采取了融券操作，所以最大收益为正。

参考文献：

恒比投资法的实证分析

http://blog.sina.com.cn/s/blog_4009b61901009tl0.html 

网友的讨论

http://funds.bbs.hexun.com/viewarticle.aspx?aid=34094339&bid=7

《财富公式》