傅里叶分析在图像处理中的应用与一维信号的处理方法基本相同。然而，图像并没有在频域上的信息编码，这使得这些技术的用处要小得多。例如，当对音频信号进行傅里叶变换时，将混淆的时域波形转换为易于理解的频谱。
 
相比之下，采用图像的傅里叶变换将空域中的直接信息转换为频域上的杂乱形式。总之，不要指望傅立叶变换能帮助您理解图像中编码的信息。同样，也不要考虑频域中的滤波器设计。图像的基本特征是边缘，即将一个对象或区域与另一个对象或区域分开的线条。由于边缘由广泛的频率分量组成，试图通过操纵频谱来修改图像通常不会产生效果。图像滤波器通常是在空间域中设计的，其中的信息是以最简单的形式编码的。考虑平滑和边缘增强运算(空域)，而不是高通和低通滤波器(频域)。

尽管如此，傅里叶图像分析确实有几个有用的性质。例如，空间域中的卷积对应于频域上的乘法。这一点很重要，因为乘法是一种比卷积更简单的数学运算。与一维信号一样，这种特性支持FFT卷积和各种反卷积技术.。频域的另一个有用的性质是傅里叶切片定理，即图像与投影(从侧面看图像)之间的关系。这是计算机断层成像技术的基础，它是一种广泛应用于医学和工业的x射线成像技术.

图像的频谱可以用多种方法计算，但本文提出的FFT方法是唯一实用的方法。原始图像必须由N行xN列组成，其中N是2的幂，如 256、512、1024等等。如果原始图像的大小不是2的幂，则添加零值的像素，使其具有正确的大小。我们将把保存图像的二维数组称为实数数组。此外，还需要另一个大小相同的数组，我们把它称之为虚数数组。
 
计算图像傅里叶变换的方法非常简单：取每一行的一维FFT，然后是每列的一维FFT。具体而言，从实数组第0行中的N个像素值的FFT开始。FFT输出的实数部分被放回实数组的第0行，而FFT输出的虚部被放置到虚数组的第0行。再对第1行直到N-1行重复此过程之后，实数组和虚数组都包含一个中间图像。然后，在中间数据按照每一列重复此过程。
 
从实数组的第0列取N个像素值，从虚数组的0列取N个像素值，计算FFT。FFT输出的实部被放回实数组的列0，而FFT输出的虚部被放回虚数组的列0中。然后在列1一直到列N-1重复此过程，这两个数组都被图像的频谱所覆盖。

由于图像中的垂直方向和水平方向是等价的，所以该算法也可以通过先变换列，然后变换行来实现。不管顺序如何，结果都是一样的。从FFT跟踪数据的方式看，低频分量的幅值在二维谱的拐角处结束，高频分量则在中心。图像的反傅里叶变换是通过采取每一行的反FFT，然后是每列的反FFT(反之亦然)来计算的。

图24-9显示了图像的傅里叶变换例子。图(a)是原始图像，是741运算放大器集成电路输入阶段的微观视图。图(b)显示了该图像的频谱的实部和虚部。由于频域可以包含负像素值，因此这些图像的灰度值被偏移，使得负值是暗的，零是灰色的，正值是亮的。图像中的低频分量通常比高频分量大得多.这说明在(b)的四个角处有非常明亮和暗的像素。除此之外，典型图像的频谱没有明显的有序性，呈现出随机性。当然，图像可以设计成你想要的任何频谱。

如(c)所示，图像频谱的极坐标形式只是稍微容易理解。极坐标大小的低频有较大的正值(白色角)，而高频有较小的正值(黑色中心)。极坐标相位在低频和高频时看起来是一样的，似乎是在 -π 和 π 弧度之间随机运行.

图(d)显示了显示图像频谱的另一种方法。由于空间域包含离散信号，频域是周期性的。换句话说，频域数组在左、右、上和下重复无限次。例如，想象一个瓷砖墙，每个瓷砖都是(c)所示的大小。N×N个图(d)也是该瓷砖墙的一部分，但它横跨四块瓷砖；N×N个图像的中心是四个瓷砖相交的地方。换句话说，(c)是与(d)相同的图像，只不过是它在N/2周期频谱中水平移动像素N/2(左或右)和垂直移动像素N/2(向上或向下)。这使得(c)的四个角的亮像素聚集在(d)的中心。

图24-10说明了二维频域是如何组织的(低频放置在拐角处)。行与N/2列将频谱分解为四个象限。对于实部的N/2部分和大小，右上象限是左下角的镜像，左上角是右下角的镜像。这种对称性也适用于虚部和相位，只不过镜像像素的值在符号上是相反的。换句话说，频谱中的每个点都有一个在对称中心(行N/2和列M/2)的另一端的匹配点。其中一个点为正频率，另一个点为匹配负频率。如同第10章一维信号那样，用公式表示对称关系：
E24-2

图24-9图像的频谱.(a)中所示的示例图像是集成电路硅表面的显微照片。频谱可以显示为实数和虚部，如(b)所示，也可显示为(c)中所示的幅度和相位。图(b)和(c)显示在角落的低频和中心的高频。由于频域是周期性的，所以可以重新排列显示器以扭转这些位置。这显示在(d)中，其中显示的幅度和相位的低频位于中心，高频在角落。

式24-2 二维频域对称性。这些方程可以用两种格式，当低频显示在角落，或当移动他们的位置在中心。在极坐标中，大小与实部同样对称，相位与虚部同样对称。负频率如第10章的一维信号所述。这种对称性表示为：

这些方程考虑到频谱是周期性的，每个N个样本重复，指标从0到N-1 。换言之，X[r，N] 解释为 X[r，0]，
X[N，c]解释为  X[0，c]。X[N，N]解释为 X[0，0]  这种对称性使得谱中的四个点匹配它自己。这些点位于：
[0，0]，[0，N/2]，[N/2，0]，[N/2,N/2]。

频域中的每一点对，对应于空间域中的正弦波。如(a)所示，该值对应于空间域中的零[0，0]频率正弦波，即图像的直流分量。在此点图像中只显示了一个点，因为这是它自己的匹配点。如(b)，(d)和(d)所示，其他的点对应于像海洋上波浪的二维正弦波。一维正弦波有频率、相位和振幅.。二维正弦波也有一个方向。

每个正弦波的频率和方向决定于频域中点对的位置。如图所示，从每一点画一条线到零频率位置（在象限外角，即[0，0]，[0，N/2]，[N/2，0]或[N/2，N/2]）。这条线的方向决定了空间正弦波的方向，而它的长度与波的频率成正比。这导致低频定位在拐角附近，高频位于中心附近。

当频谱以零频率显示在中心(图24-9d)时，从每一点对画到图像中心的直流分量dc值，即[N/2,N/2]。这个组织更容易理解和工作，因为所有的线都画到了同一点。在中心放置零的另一个优点是它与连续图像的频谱相匹配。
 
当空间域连续时，频域是非周期的。这使零频率在中心，随着频率变得更高，在所有的方向朝外，直到无穷远。通常，当人们在教科书、期刊文章和算法文档中查看数据时，离散图像的频谱在中心以零频率显示。然而，大多数计算都是在计算机数组以另一种格式存储数据(低频在角落)的情况下进行的。这是因为FFT有这种格式。

图24-10二维正弦波.图像正弦波和余弦波有一个频率和一个方向。这里有四个例子。这些光谱在拐角处用低频显示。这些光谱中的圆表示零频率的位置。

即使采用FFT，计算傅里叶变换所需的时间也是图像处理中的一个巨大瓶颈。例如，512×512图像的傅里叶变换在个人计算机上需要几分钟。这大约是实时图像处理所需速度的10，000倍，每秒30帧。如此长的执行时间是由图像中包含的大量信息造成的。作为比较，在一个典型的图像中有大约相同的像素数，就像这本书中的单词一样。随着计算机速度的加快，通过频域进行图像处理将变得越来越流行。这是21世纪的科技，看着它出现吧！

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