加载中…开普勒发现行星椭圆轨道的过程
(2017-11-11 13:36:38)
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天文学 |
摘译自英文网站文章，作者黄珍妮（美国）。
按：谈到开普勒定律，一般是先用微积分证明第二定律，再证明第
一定律等等。我想，好像有点关公战秦琼的感觉。开普勒是明代万历
时代的人，牛顿发明微积分是清康熙、乾隆年代。用微积分来证明开普勒
定律，总觉得有点别扭。在网上找到体现开普勒真正发现行星三定律
的真实过程的文章，摘译在此。
开普勒于1571年出生在德国并在德国接受教育1586进入杜宾根
大学学习。（1571-1630，明代隆庆、万历到崇祯初年，伽利略时代。）
在大学期间，他深受天文教授马斯特林的影响。马氏是一个哥白尼
学说的拥护者，支持日心说。老师的思想引起了开普勒对天文学的兴趣，使
他也成为哥白尼的支持者。具有讽刺意味的是，开普勒是一个不情愿的天文
学家。开普勒说：“这些是规定的课程，并不说明我偏爱天文学。”当他续借
奖学金时，评委说：“开普勒是优秀的学生。志向远大，很有前途。”
1591年，接受了硕士学位后，继续攻读神学。但最后一年，格拉兹
的路德会学校的数学教授去世了，杜宾根大学被要求推荐代替数学
教授的人选。结果选定了开普勒去接替那项工作。他不情愿地放弃
原先想当牧师的愿望，在22岁时开始到格拉兹去当数学老师。
一年之后，他出版了第一部著作《宇宙的奥秘，（1596年）》。该书提出了富
于想象力的理论。出于对宗教的虔诚，探求神对宇宙的数学规划，开普勒得到
的结论是6个行星的存在是因为
有5个完美的多面体的存在。
当然，这是基于“事实”，宇宙中仅有6个行星和5个完美的多面体。
环绕地球的轨道，开普勒划定一个完美的12面体和包含火星的球体。
类似地，环绕火星的球体限定了一个4面体，球体包含了木星的轨道。
在地球轨道球中内接了20面体，产生内接球是金星。
当然，开普勒主要依靠神的灵感来建立这个理论。他的论据没有真正的根据。
宇宙的奥秘的重要性来自于事实：因为哥白尼自己第一个公开哥白尼论文。
开普勒是一个相当革命的人。甚至他对行星为什么移动的原因的探索也是一
种大胆的尝试，与中世纪流行的那种毫不怀疑地接受现成信息的传统形
成鲜明的对比。
1598年9月，包括开普勒在内的格拉茨新教徒被天主教统治者逐出该城。虽然
开普勒获准返回，但情况很紧张。为了寻找安慰，他转而去找第谷·布拉赫。
第谷是皇帝鲁道夫二世的皇家数学家，他曾经进行过令人印象深刻的行星观测，
他知道开普勒发表过《宇宙的奥秘》。1600年，当开普勒来到布拉格郊外的比
那基城堡天文台时，第谷欢迎他作为自己的帮手，而不是平等身份的人。他们
之间的关系曾不断发生争吵，不是那么和谐，直到第谷教授去世。一年后，
根据第谷临终前交给开普勒的任务，替他保管其宝贵的研究成果。作为一个最
后的请求，第谷叫开普勒继续完成第谷未完成的Rudophine
Tables--鲁道夫 行星
运动表。不久，开普勒被任命为皇家数学家。
由于摆脱了和第谷的紧张关系，开普勒可以自由地追求自己在天文学领域的兴趣。
他决定继续观察火星。开普勒对第谷留下的文档很感兴趣。对行星的轨道，他
认为如果他能发现当时仍未弄清的某个具体星球的路径，就有可能确定所有其
它行星的轨道。与流行的看法相反，他没有简单地使用第谷的观察，而是选择
一种几何图形，来描述符合于第谷的观察数据。他醉心于“行星运动的物理理论，
从它可以推断出轨道的规律。”
在解释开普勒的轨道研究过程之前，必须澄清一些天文术语。
偏心圆：行星P，均匀绕圆心运动，太阳在偏心位置。
等分点：经托勒密介绍，行星速度的不均匀但以恒定的角速度绕另一个移动点即
等分点而运动。因此，绕偏心圆运动的行星P，匀速地绕等分点E而运动.
据托勒
密观点，E的最好的近似位置是EC =
CS（图A）。
远日点：行星的轨道离太阳最远的点。
近日点：行星的轨道最接近太阳的点。
开普勒在开始研究火星轨道之前，先描述了地球的轨道。毕竟，火星是从一个移
动的地球上来观察的。传统观点认为轨道是圆的，开普勒没有偏离地球圆轨道的想
法。同时，他已经注意到，从《宇宙的奥秘》和第谷关于行星速度和它与太阳距
离越远而减低的观察结果支持这一观点，开普勒纳入轨道等分点。他在位于关系到
轨道中心与太阳的位置等分点位置，认为地球的速度在远日点和近日点与太阳
的距离成反比。这种关系被推广到其余星球轨道（这是错的），并被标记为
距离定律.
在尚未出现微积分工具的时代，开普勒开始用他自己的公式：
其中，β叫做偏近点角，t 是时间，r 为偏近点角的距离，i
为被测量的，图B
这个计算公式很麻烦，因此，近似距离值使用面积来代替。这种近似被证明是可靠
的预测行星的位置：行星在相同的时间内扫出相等的面积。其关系式是：
这是最初的开普勒模型），于是，又转向研究火星。仍然使用圆轨道，但是，情况
出现了偏差，偏差是8'
。就是说，用面积定律时，在近日点过快，在远日点过慢。
（在 β=90度或270度时）。图c
的研究，说明这种改变是合理的。轨道越来越接近扁圆。但是开普勒如何将面积定
律用到扁圆呢？为了计算方便，近似地用了椭圆，因为阿基米德已经有了椭圆的圆
份面积的计算公式！（注：就是类似圆面积分解为正多边形及小三角形的公式）
通过试验和纠正，他发现，短半轴为
1-0.5 e ^2 , 长半轴为 1 。
其中，e为距离CS 。
比值SP ：火星-太阳实际距离，等于比值SP ：PT
，
因此火星与太阳距离=PT=PC+CT (Figure
E)
故，太阳-火星距离 = 1 + cos
β ，知道这个距离，如何描述轨道模型？开普勒决定
把火星放在Q点（图E），即偏近点角的半径，距离对应于太阳到Q点的连线。
但是，这是不对的！曲线与观察数据不符合。误差达到 8'
。最后，开普勒发现
这个距离是 ρ = 1 + e cos
β ，应用到连接太阳与点w的线段，点w位于垂直于CA
的垂直线上。（图F）
偏近点角：
曲线模型是个椭圆，它可以正确预言火星的位置。结果，开普勒接受了椭圆。这是
火星真正的轨道。同时，开普勒也证明了轨道是个椭圆。
开普勒的证明：
经过八年的计算，开普勒行星运动第一定律被并入新天文学，连同他的第二定律：行
星扫出在相同时间相等的面积，是前面提到的。开普勒第三定律，对行星轨道周期的
比率，在Harmonice
mundi发表，虽然没有像其他两定律那样明确。天文学家一 也发
表了一些小作品，包括stereometria doliorum
vinariorum，认为是微积分的史前史的
一项重要著作。哥白尼天文学概要也值得一提
.开普勒日心天文学八卷集，包括了他的
行星运动三定律。第谷曾希望开普勒继续完成的鲁道夫星表终于在1627
完成了，这是
一张行星位置表，比任何其余119页的表格都要精确得多。
除了行星观测外，还有其他一些天体。他对光学感到兴趣，他在当时许多话题引起学识渊
博的笛卡尔的注意。
特征上。虽然他轻视实践，开普勒还参加了占星预言。他在格拉茨和布拉格出版了几本日
历，有足够的准确性让他获得早期声誉。虽然提供了收入，开普勒的经济情况也不理想。
尽管他成功了，但开普勒却一直饱受经济困难的折磨。当时开普勒因信仰问题，不断搬迁，
寻找宗教宽容，导致影响收入。好几次，他试图保留杜宾根教学岗位，他被认为是
新教徒而受到拒绝。开普勒于1630年11月15日去世。他在领取补发薪水的路上患急性发热，
在贫病交加中去世。后来被埋在一个新教徒公墓。
他的女婿谈到开普勒的墓志铭：
我曾測天高，
今欲量地深。
凡俗肉體歸於此地。
Mensus eram coelos, nunc terrae
metior umbras:
Mens coelestis erat, corporis
umbra jacet.
I used to measure the
heavens,
now I shall measure the shadows
of the earth.
Although my soul was from
heaven,
the shadow of my body lies
here.
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开普勒引用阿基米德计算面积的方法截图
oresme=14世纪时代
部分内容摘译：
通过类比推理，开普勒知道阿基米德关于圆面积的公式不能直接用于椭圆面积。
椭圆是圆的变形，所有纵坐标按照比值b/a缩短。14世纪后，人们可以认为椭圆
面积是圆面积的纵坐标压缩而成。压缩比值为b/a
。两者面积之比也是b/a。
结果是正确的。但对开普勒最好的办法就是椭圆周长给出的近似公式。。。
椭圆及一般曲线长度曾在此前（或此后）的半个世纪令数学家们困惑过。。。。
后注：现代人的评论，参考：
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