加载中…第19章 递归滤波器 19-1 递归法
(2015-01-20 01:30:26)
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递归滤波器单极低通递归滤波器数字信号处理 |
数字信号处理指南
递归滤波器是一种不必经过长卷积而得到一个长脉冲响应的有效方法。与其它数字
滤波器相比，执行非常快而只需用较少的操作，柔性又好。递归滤波器也叫无穷脉
冲响应（IIR）滤波器，因其脉冲响应是许多衰减指数函数的组合。这就有别于另
一种依靠卷积进行的数字滤波器，叫做有限脉冲响应（FIR)滤波器。本章主要介绍
递归滤波器如何操作和如何设计这类滤波器的简单成员。第20、26、31章再讨论
更复杂的设计方法。
本章内容：
递归方法
单极递归滤波器
窄带滤波器
相位响应
整数的利用
///////////////////////////////////////////////
在讨论之初，假定你需要从一些信号 x[
]中提取信息。你的提取信息的目的非常重要，
以致于聘请了一位老数学教授来为你处理数据，教授的任务是过滤
x[ ]，产生 y[ ]，
其中y[ ]包含了你希望得到的信息
。教授根据他的超发达的头脑锁定的算法计算每个
点和分数变换以及其它数学噩梦中的魔鬼们。显然教授已经失去理智。你如同教授一般
焦急地看着，你们的算法被一些穿白衣服的人拿走了。
你疯狂地翻阅教授的笔记，寻找他用过的算法。你发现他完成了点
y[0]到y[27]的计算，
并打算计算点y[28]。如图19-1，设 变量 n
表示现在正在计算的点。就是说， y[n]
是输出信号的样本28，y[n - 1] 是样本27，y[n -
2]是样本26，等等。类似地， x[n]
是输出信号的点28， x[n -
1]是点27，等等。为了了解正在使用的算法，我们问自己：
“教授计算正在进行的样本
y[n]的可用信息是什么？”
最明显的信息源是输入信号，即，值x[n], x[n - 1],
x[n - 2], …。教授可能给输入
信号每个点乘以一个系数，并将积加在一起：
你可能觉得无非是与系数 a0, a1, a2,
…,的卷积，形成卷积内核。如果这些都是教授
做过的，对这个故事和本章来说就不必有更多的要求了。但是，还有另外一个信息源，
教授曾经访问过的：那就是输出信号的原先计算值，保存在 y[n
- 1], y[n - 2],
y[n - 3],
…。利用此附加信息，算法将是下面的形式：
用语言来叙述，输出信号的每个点的求法，将输入信号乘上系数“a”，将输出信号原先
的值乘上系数“b”，并将乘积加在一起。注意对b0没有值，因为其对应的样本正在计算。
式19-1叫做递归公式，利用它的滤波器叫做递归滤波器。定义滤波器的"a"与"b"值叫做
递归系数。在实际操作中，大约不超过10来个递归系数，否则滤波器会不可稳定（即，
输出连续增加或震荡）。表19-1表示递归滤波器程序例子。
递归滤波器很有用，因为它省去了较长的卷积。例如，当一个delta
函数通过一个递归滤
波器时会发生什么。输出是滤波器的脉冲响应，典型的是正弦波震荡然后指数衰减。由于
此脉冲响应为无穷长，递归滤波器常常叫无穷脉冲响应滤波器infinite impulse
response
在递归系数与滤波器响应之间的关系有一个数学方法叫做 z变换
，这是第31章的内容。
例如，z变换可用于这样一些任务：递归系数与频率响应之间的转换,将级联与并联综合到
一个单个滤波器中、设计模仿模拟滤波器的递归系统等等。但不幸，z变换是非常数学化
的，比多数DSP用户乐于处理的方法要更复杂。这是DSP中专门化的领域。
有三种方法求递归系数而不必懂得z变换知识。第一种，本章提供若干简单递归滤波器类
型的设计公式。第二种，第20章提供“菜谱”式计算机程序，以设计更复杂的切比雪夫
低通与高通滤波器。第三种，第26章讲述迭代法设计具有任意频率响应的递归滤波器。
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