加载中…13-2 连续信号的卷积
(2014-05-01 21:52:02)
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连续信号的卷积数字信号处理 |
如同离散信号那样，连续信号的卷积可以从输入端或输出端来观察。输入端观点是
卷积如何运算的最好的概念描述。相比之下，输出端观点必须用数学来描述。这两
种描述和第6章离散信号中的卷积描述，实质是
一样的。
图13-2表示从输入端来看卷积。一个输入信号x(t)，通过由脉冲响应
h(t)来描述的
系统，产生输出信号y(t)。这可以写成大家熟悉的数学方程y(t) = x(t) *
h(t)。
输入信号被分解为若干窄柱，每个窄柱窄到作用于系统的脉冲。换言之，输入信号
被分解为无穷多缩放与位移的delta函数。每个脉冲产生脉冲响应输出信号的缩放与
位移版。最终的输出信号等于综合效果，即，所有个别响应的和。
为了使意图成功，窄柱的宽度必须大大短于系统的响应。当然，数学家们采取极端，
使输入部分成为无穷窄，使之变为微积分问题。这样，输入观点描述一个输入信号
的单点（或窄区）影响了比较大量的的输出信号各个点。
比较之下，输出端观点，观察输出端的一个单点如何决定于输入端的各个点。如同
离散信号那样，输出信号中每个瞬时值决定于输入端的许多输入信号，通过左变右
翻转的脉冲响应来加权。在离散信号情况下，信号相乘并相加。在连续信号情况下，
信号相乘并积分。写成公式是：
公式叫做卷积积分，它是第6章离散信号卷积和（式6-1）的孪生兄弟。
图13-3表示如何理解这个公式。其目的是求任意时刻t的输出信号计算值的表达式。
第一步是改变自变量用于动态表示输入信号和脉冲响应。即，用τ
(小写希腊字母）
代替t 。使 x(t)与 h(t) 分别变为
x(τ) 和 h(τ)。变量名称的改变是必要的，因为 t已经用来表示输出信号中正在计算的点
。下一步是将脉冲响应左右翻转，成为
输出信号的值通过此加权后的输入信号积分，积分限从负无穷大到正无穷大。如
式13-1所示。
如果你对此操作的理解有困难，请复习一下第6章离散信号卷积的概念。图13-3是
第6章图6-8卷积机的另一个描述方法。唯一不同之处是用积分代替和式。这是已经
熟悉的东西的扩展，并无新意。
举出一例，说明连续卷积用于现实世界的问题和数学要求。图13-4是一个简单连续
线性系统：由单电阻和单电容组成的低通滤波器。如图所示，一个脉冲进入此系统。
产生输出，快速跳到某个值，然后按指数衰减到0
。换言之，此简单电路的脉冲响
应是一个单边指数函数。在数学上，此系统的脉冲响应分为两部分，每个部分按下
式表示：
式中，α = 1/RC (R 为欧姆, C为法拉,
t为秒 ) 。
如同离散信号情况那样，连续脉冲响应包含了系统的完整信息，即，此系统对所有可能的信号所作的反应。为了追究其
进一步情况，图13-5表示一个矩形脉冲进入此系统，数学式表达为：
由于输入信号和脉冲响应都是已知公式，输出信号 y(t)
可按照式13-1来计算卷积积分。
由于两者都是按区域来定义而不是单个数学式，所以就复杂一些。这是连续信号处理
中常见的例子。通常要画出图来，画出两个信号在不同的t值时彼此位移情况。
在本例中，图13-6a表示两个信号完全不重叠。意味着沿着 τ
轴的所有位置，两个信号的积都是 0 。结果的输出信号是：
图b）是第二种情况 ， 此时 t 在 0 与 1
之间。两个信号部分重叠，产生两者的积，在τ = 0 与 τ = t 之间有非零值
。由于这是唯一的非零区，是必须计算积分的时段。
在 0 ≤ t ≤ 1
时段的输出信号，如下式：
图c）是第三个时段计算输出信号的情况， 此时段为 t >
1 。此时重叠发生在
τ = 0 与 τ = 1 ，【 t 在右图 ，
τ 在左图
】，计算方法同第二情况，但其积分限改变 了：
三段的每段波形必须符合你的电路知识：
（1）输入信号变为非零之前输出信号必须是0，这是第一段情况：
当 t < 0 y(t) = 0
。
（2）当阶梯出现时，RC电路指数增加以匹配输入，按照公式：
y(t) = 1 - e（指数-αt）.
（3）输入回到0，输出呈指数衰减到0，按照公式：y(t) =
ke（指数-αt）
更复杂的波形可用同样方法处理，尽管数学的复杂性很快变为难于处理。面临讨厌的连续
卷积问题你必须花费大量时间来计算解题。如果盲目积分，你可能因数学问题陷于停止。
一般的方法是将一个信号分解为较简单的可加分量，分别卷积。利用线性原理，将结果
波形相加来求得原始问题的答案。
图13-7表示另外的方法：用线性方法修改信号之一。进行卷积，然后取消原始的修改。
此例的修改是求导数，然后再取积分来还原。单位振幅的矩形脉冲的导数是两个脉冲，
第一个脉冲面积为1，第二个面积为 -1
。为了明白这一点，考虑一下将两个脉冲进行
反过程--积分。积分通过第一脉冲时，积分快速增加，由0到1，即，一个阶跃函数
.
当通过第二个即负脉冲时，信号的积分返回到0，完成了矩形脉冲。
采用导数可以简化问题，因为由脉冲组成的信号的卷积比较容易。两个脉冲的每一个
x'(t)分别都贡献一个移位与缩放版的脉冲响应给输出信号的导数y'(t)。即，通过检查
知道：y'(t) = h(t) - h(t -
1) 。输出信号y(t),它的求法是插入准确的 h(t)式子，并求该式的积分。
此步骤稍有麻烦的事是，当求导数时，输入信号的直流值（常数项）会丢失。结果产
生算出的输出信号有直流值误差。在数学式的反应是任意加上的积分常数。没有系统
的方法来确认这个误差，但可以一个检查问题来纠正。例如，图13-7的例子没有直
流误差。当 t
很大时，算出的输出信号有正确的直流值是知道的。如果误差出现在具
体问题，适当的直流项可以人工加到输出信号来完成计算。
此方法也可以用在取多重导数以简化成脉冲的情况。用行话来说，这些信号叫做分段
多项式。卷积之后，原始运算为多重导数，其还原就是多重积分。唯一的注意事项
就是丢失的直流值必须每步求出正确的积分常数。
在开始困难的连续信号卷积问题之前，还有另外的方法要考虑。问你自己一个问题：
对于输出信号真的需要数学表达式吗？或，一个波形图足够吗？如果一个图形已经
足够，你最好罢手，改用离散技术来处理问题。用样本近似于连续信号，用计算机
程序来直接卷积，虽然没有数学方法那么纯正，但它容易得多。
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