加载中…10-7帕斯瓦尔关系式
(2014-02-04 16:10:20)
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帕斯瓦关系式数字信号处理 |
因为时域与频域是对同一信号的表达，两者必须有同样的能。这就叫 帕斯瓦尔关系，
且对于傅里叶变换家族的所有成员都成立。对DFT而言， 帕斯瓦尔 关系表达为：
式左是包含在时域信号的总能，由N个独立样本能量之和求出。
同样，右边是包含在频域中能量的总和由N/2+1正弦波的能量之和求出。回忆一下，
物理学中能量正比于振幅的平方。例如，弹簧的能量正比于位移的平方，存储于电容
的能量正比于电压的平方。在式10-1中，X[f]是x[n]的频谱，稍加修改：首与末频率
分量X[0]与 X[N/2]必须除以√2 。此修改连同式右的 2/N 系数一起导致若干巧妙的
计算与求和细节。
为了明白这些修改，从利用DFT求信号的频谱开始。然后将其频域转换成为重构信号
所需的正弦波振幅，如同前面的式8-3已经定义过的那样。办法是将首点与末点（样本
0和N/2）除以2，然后将所有的点除以N/2 。当这样提供正弦波振幅时，它们是峰值
振幅而不是计算能量用的均方根（rms）振幅 。在正弦波中峰值振幅转换为均方根振幅
时要除以√2 。这种修正，必须对所有频域值进行，除了0和N/2两个样本之外。这是
因为，此两个正弦波是唯一的；其中一个是常数值，另一个是两个常数值之间变动。
对于这两种特殊情况，峰值振幅已经是等于均方根值了。频域中所有的值平方并求和。
最后一步是将和除以N，为了计算所有频域的样本转换为时域中的正弦波（覆盖N个
时域频域中的值），得出式10-1。
帕斯瓦尔 关系式 源于物理学中有趣的描述（能量守恒），在DSP中也有实际的应用
第10章结束。
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