大家都知道自然数前n项和公式：1+2+...+n=n(n+1)/2。

它的推导方法很简单，就是利用所谓的倒序相加法（据传德国大数学家高斯在其读小学的时候就已经独自想出这一方法）。

令Sn=1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n

则Sn=n+(n-2)+(n-1)+...+3+2+1 

所以2Sn=(1+n)+[2+(n-1)]+[3+(n-2)]+...+[(n-2)+3]+[(n-1)+2]+(n+1)     (*)

注意到1+n=2+(n-1)=3+(n-2)=...=(n-2)+3=(n-1)+2=n+1

也就是说（*）式右边每一项均等于n+1，一共有n项，因此有2Sn=n(n+1)，所以Sn=n(n+1)/2。

即：1+2+...+n=n(n+1)/2。

但是对于自然数前n项的平方和公式，恐怕很多朋友就不是很清楚了，现在推导如下。

首先回顾一个重要公式，两个数的和的立方展开式

(a+b)^3=a^3+3*(a^2)*b+3*a*(b^2)+b^3  所以：(n+1)^3=n^3+3*n^2+3*n+1

2^3=(1+1)^3=1^3+3*1^2+3*1+1

3^3=(2+1)^3=2^3+3*2^2+3*2+1

4^3=(3+1)^3=3^3+3*3^2+3*3+1

......

(n+1)^3=n^3+3*n^2+3*n+1

等式左右两边相加得，消掉相同的立方项得：

(n+1)^3=1^3+3*(1^2+2^2+...+n^2)+3*(1+2+...+n)+n

令Sn=1^2+2^2+...+n^2，则

(n+1)^3=1+3Sn+3n(n+1)/2+n

化简后易得Sn=n(n+1)(2n+1)/6

即：1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

顺便说一句，利用同样的方法还可以得出

1^3+2^3+...+n^3=n^2*(n+1)^2/4=[n(n+1)/2]^2=(1+2+...+n)^2

这是一个非常有趣的结论，大家可以自己尝试去证明一下！