如何用乘除法近似计算10的指数和以10为底的对数

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       近似计算公式无所谓好坏，不同的应用场合有不同的公式更使用。用10^x表示10的x次方、log x表示x的以10为底的对数；用"/"表示除号或分数线、用“·”或"*"表示乘号；以下提到的误差都是指误差的绝对值。

   第一个近似公式:      

10^x=(0,9+x)/(0.9-x)= (9+10x)/(9-10x)               ---公式1

   用公式1计算时，x越接近0相对误差越小：x的计算范围为[-log 2,+log 2]即[-0.30103,+0.30103]时，若中间结果保留5位有效数字且最终结果保留4位有效数字，则计算结果的最大相对误差<1%；计算过程中所要求的相对误差越小，中间结果和最终结果要保留的有效数字越多。

   第二个近似公式：        

log x=0.864(x-1)/(2+0.864(x-1))=( 0.864x-0.864)/( 0.864x+1.136) ---公式2

   用公式2计算的最大相对误差<1%,x的计算范围是[1, 2]，要求中间结果保留5位有效数字且最终结果保留4位有效数字。

       如果计算[-log2,+log 2]范围之外的变量y的指数,令y=n*log2 + x=0.30103*n + x,则10^y=(2^n)*(2^x)。其中n为整数，x在(-log2,+log 2)范围内，这样，即可计算10的任意指数。

       如果计算[0, 2]范围之外的变量y的以10为底的对数,令y=(2^n)*(2^x) , 其中n为整数，x在(1,2)范围内则logy=n*log2+logx 其中n为整数，这样，即可计算任意范围内的以10为底的对数。例如  y=42=32*1.3125=(2^5)*1.3125 ，则log 42=5*log2+log1.3125=5*0.30103+0.864(1.3125-1)/(2+0.864(1.3125-1))=1.624，而用计算器计算的结果是1.623。

       另外，当y在[4,16]范围内，可直接用另一个公式log y=18y/(10y+80)计算，若中间结果保留5位有效数字且最终结果保留4位有效数字时，计算的最大相对误差<1% 。

最终结果保留2位有效数字时，由于舍入新增加的最大相对误差不超过5%；

最终结果保留3位有效数字时，由于舍入新增加的最大相对误差不超过5‰；

最终结果保留4位有效数字时，由于舍入新增加的最大相对误差不超过0.5‰；

最终结果保留5位有效数字时，由于舍入新增加的最大相对误差不超过0.05‰; ······。