前一篇给出了如何确定几何区域，本篇接着给出如何确定边界条件，在几何区域和边界条件都确定好之后，就可以利用PDE Toolbox对给定的PDE进行计算了。先回忆下前面的边界条件：

                 http://bbs.sciencenet.cn/upload/blog/images/2010/10/2010101715482324.jpg

    上面的四个边界条件中，前两个是Dirichlet边界，后两个是Neumann边界。我们先了解下PDE Toolbox中规定有三种边界条件，一是Dirichlet边界条件，一是广义Neumann条件，一是混合边界条件（只用于方程组）。这和传统的定义有所不同，按照传统的观点，PDE Toolbox中的广义Neumann条件应该是混合边界条件（Robin边界条件），而传统的Neumann边界条件是指边界处的法向导数为零。我们先不考虑方程组，Dirichlet边界条件和广义Neumann条件写成如下形式：

                          http://bbs.sciencenet.cn/upload/blog/images/2010/10/2010101715493474.jpg

其中http://bbs.sciencenet.cn/upload/math/20101017155820683.gif是边界法向量与x轴的夹角。

规定边界条件的m文件是pdebound函数，该函数并不提供边界条件，而是要求用户按照规定的方法给出边界条件，用户可以自己给定函数的名字。我们计算中给出的边界条件函数是mybound。调用格式为[q,g,h,r]=mybound(p,e,u,time)。

    pdebound函数中最主要的内容是bl矩阵，bl包括了所有的边界信息。bl的每一列都是边界条件矩阵的对应列，每一列都必须满足下面的规则：

第一行是方程的维数N，一个方程N=1，两个方程构成的方程组，N=2，…；

第二行是Dirichlet边界条件数M，Dirichlet边界条件时M=N，广义Neumann边界条件时M=0，如果是方程组，0<M<N之间表示混合边界条件；

第三行到第3+N2-1行是表示q的字符串的长度，这个长度按与q有关的列方向的次序储存；

第3+N2行到第3+N2+N-1是表示g的字符串的长度；

第3+N2+N行到第3+N2+N+MN-1是表示h的字符串的长度，这个长度按与h有关的列方向的次序储存；

第3+N2+N+MN行到第3+N2+N+MN+M-1是表示r的字符串的长度；

接下来的行是包括MATLAB文本表达式所表示的真实边界条件函数。文本表达式是将实际的表达式通过double函数转化为ASCII码后的表达式。文本字符串的长度与前面四行规定的长度是一致的，两个字符串之间没有分隔符。可以插入含有下列变量的文本表达式：

二维坐标x和y；

边界线段参数s，弧长的比例。在边界线段的起始处s=0，向着线段的终点处增加到s=1；

外法向量分量nx，ny。如果要用到切向量，可以用tx和ty表示，其中tx=-ny，ty=nx；

解u（除非已指定输入参数u）；

时间t（除非已指定输入参数time）。

注意，在只有一个方程的时候，即N=1，如果M=0时，即是广义Neumann边界条件，此时不需要表示表示Dirichlet边界条件的h，r两行，因此表示q和g的字符串从第5行开始（前四行分别为N,M,q,g的指示行）；如果M=1，此时表示h，r的字符串从第9行开始（前六行分别是N,M,q,g,h,r的指示行，第七八行表示q，g，它们均为0，ASCII码为48）

下面看下我们计算你的例子中边界mybound函数的内容：

function [q,g,h,r]=mybound(p,e,u,time)

% upper=double('2-2*x-x.^2');% y=1上边界条件函数 
% down =double('x.^2'); % y=0下边界条件函数 
% left =double('y.^2'); % x=0左边界条件函数 
% right=double('2-2*y-y.^2'); % x=1右边界条件函数 
% upper=upper'; % 转化为列向量 
% down =down'; 
% left =left'; 
% right=right'; 
% 
bl=[ 
1 1 1 1       % N 表示方程维数的指示行 
0 0 1 1       % M 表示Dirichlet边界条件的指示行，M=0为广义Neumann边界条件 
1 1 1 1       % q 表示q的字符串的长度，根据实际长度确定， 
10 10 1 1   % g 表示g的字符串的长度，如1表示字符串的长度为1 
48 48 1 1   % h 表示h的字符串的长度，这是针对M=1的列，本例子是三四列 
50 50 4 4   % r 表示r的字符串的长度，规则同上。 
45 45 48 48     % 本行以下是边界条件函数的字符串表达式，字符串的长度与上面 
50 50 48 48     % 规定的一致。注意，这些都是将表达式转化为ASCII码后的数 
42 42 49 49     % 例如x的ASCII码是120，ASCII码的0表示null（空） 
120 121 120 121      % 需要注意的还有，M=0的列，字符表达式从g的下一行开始， 
45 45 46 46            % 即从第5行开始。M=1的列，从r的下一行开始，即7,8两行是 
120 121 94 94        % 表示q，g的字符串的长度，此时认为q，g均为0， 0的ASCII 
46 46 50 50            % 码是48，因此7,8两行均为48。在往下，按照h，r的长度排列。 
94 94 0 0                % 由此造成的行数不匹配，可以由任意ASCII码补齐，一般以0 
50 50 0 0                % （表示null，空）表示，不容易引起歧义。 
]; 

if any(size(u)) 
[q,g,h,r]=pdeexpd(p,e,u,time,bl); 
else 
[q,g,h,r]=pdeexpd(p,e,time,bl); 
end

规定边界条件的矩阵bl较为复杂，详细的解释可以使大家省不少时间，但是也容易把大家整晕，我也是在这方面花费了不少功夫。下面具体分析下bl中的两列。第一列对应着上边界条件（Neumann边界条件）：

                         http://bbs.sciencenet.cn/upload/blog/images/2010/10/201010171627855.jpg

与边界条件的标准形式比较，有，q=0，g=2-2*x-x.^2，于是第一列可以写为

[1 0 1 10  '0'  '2-2*x-x.^3']'

其中1表示N=1，即一个方程，0表示Neumann边界条件；1表示q的长度；10表示g的长度，'0'表示q=0，长度为1；'2-2*x-x.^3'表示g=2-2*x-x.^2，转化为ASCII码后长度为10。因此第一列最终写为

[1 0 1 10 48 50 45 50 42 120 45 120 46 94 50 ]'

第三列对应着下边界条件，是Dirichlet边界条件：

                             http://bbs.sciencenet.cn/upload/math/2010101716341277.gif

与标准形式比较，有，h=1，r=x.^2，于是第三列可以写为

[1 1 1 1 1 4 '0' '0' '1' 'x.^2']'

按顺序依次为，1表示N=1，一个方程；1表示Dirichlet边界条件；1表示q的长度，此时必为1；1表示g的长度，此时也必为1；1表示h的长度是1；4表示r的长度为4；'0'表示q的值为0（0的字符串长度是1）；'0'表示g的值是0；'1'表示h=1（1的ASCII码是49）；'x.^2'表示r=x.^2，转化为ASCII码后长度是4。于是第三列可以写为

[1 1 1 1 1 4 48 48 49 120 46 94 50]'

此时第三列的长度小于第一列的长度，缺几个长度就可以添加几个ASCII码的0，表示空，这样第三列就是mybound中的第三列了，如下

[1 1 1 1 1 4 48 48 49 120 46 94 50 0 0]' 
  

    最后附上mybound的m文件，有需要的可以下载。