http://blog.sina.com.cn/s/blog_668e6e9d0100uxt5.html周靖国老师博文

古希腊有位数学家叫毕达哥拉斯。他和他的学派在数学上做出了巨大的贡献。毕达哥拉斯认为“数是万物之源”。1表示点，2表示线，3表示面，4表示体。

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　　世间万物无一不是由点、线、面、体所组成，而1＋2＋3＋4＝10，因此，10就可以表示宇宙。

毕达哥拉斯把自然数看成是点的集合，尤其看重能够排成三角形、正方形、长方形的数。下面我们就用这三种数推出一些重要而常用的公式。

公式一：两个三角形数可以组成一个长方形数：

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　　所以，(1＋2＋3＋4＋5)×2＝5×6，即，

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　　推而广之，如果三角形数有n层，长方形数就有n层，每层有n＋1个点，于是得到求连续自然数的和的公式：

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　　公式二：正方形数可以这样划分：

　　　　　　　　　　　　　　　　 http://s5/middle/668e6e9dt888832a3d204&690

 　　所以，1＋3＋5＋7＋9＝5²。推而广之，如果正方形数有n层，第n层就有2n－1个点，于是得到求连续奇数和的公式：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n²

公式三：长方形数可以这样划分：

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 所以，2＋4＋6＋8＋10＝5×(5＋1)。推而广之，如果长方形数有n层，第n层就有2n个点，于是得到求连续偶数和的公式：2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)

公式四：正方形数还可以这样划分：

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　　先按横行从1加到5，再按竖列从4加到1，即，1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝5²。推而广之，如果正方形数有n层，于是得到求从1到n再到1的连续自然数之和的公式：1＋2＋3＋…＋n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝n²

图形数把抽象的数与直观的图形巧妙地联系起来，这种数形结合的方法是一种常用的数学思想方法。下面我们用这种方法再推出两个重要的公式。

公式五：把1²、2²、3²、4²、5²这5个连续的正方形数稍加变形，排成左下方的“摩天楼形”：

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　　如果在它的两侧各加上同样的5个连续的正方形数，就会得到一个像右上方的那样的长方形数。摩天楼形数等于　　　　　　　　　　　　　　
                        　    1²＋2²＋3²＋4²＋5²

长方形数是它的3倍，等于

    　  3×(1²＋2²＋3²＋4²＋5²)

而这个长方数有

                    　   http://s4/middle/668e6e9dt740da0a4d3f3&690

层，每层有2×5＋1个点，所以，

            http://s8/middle/668e6e9dt888856363597&690              

即，                           
　　　　　　　　　http://s10/middle/668e6e9dt8888bb6287f9&690
　　推而广之，就得到求连续平方数的和的公式：

                http://s13/middle/668e6e9dt88884dc29d3c&690

真是妙不可言！

公式六：下面的大正方形是由一些边长分别是1、2、3、4、5的小正方形拼成的。

                                 http://s13/middle/668e6e9dt88885663f7bc&690

    观察发现，虽然有两处重叠，不过这两个重叠部分与各自右下方的空白部分大小相等，正好可以用重叠的那一层补上空白部分。于是可以说，这个大正方形是由1个边长为1的正方形、2个边长为2的正方形、3个边长为3的正方形、4个边长为4的正方形和5个边长为5的正方形拼成的，它的面积等于

      1×1²＋2×2²＋3×3²＋4×4²＋5×5²＝1³＋2³＋3³＋4³＋5³

因为大正方形的边长等于1＋2＋3＋4＋5，所以

    1³＋2³＋3³＋4³＋5³＝(1＋2＋3＋4＋5)²

而

                            http://s3/middle/668e6e9dt888856733522&690 

于是

       http://s10/middle/668e6e9dt888856828249&690

推而广之，就得到求连续立方数的和的公式：

　　　　http://s7/middle/668e6e9dt8888c0348fb6&690
　　真是不可思议！

上面我们用数形结合与合情推理的方法，妙趣横生地得到六个非常重要而常用的公式，使我们不能不又一次为数学内在的奥秘所陶醉，为她那无与伦比的美所倾倒。这，就是数学的魅力！

前面，在“有趣的图形数”一文中，曾经提到，古希腊的毕达哥拉斯学派把自然数看成是点的集合，尤其对可以排成三角形、正方形的数情有独钟，把它们称为“三角形数”和“正方形数”。

我们知道，自然数是：

　　1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…

三角形数，实际上就是从1开始的一些连续自然数的和：

　　1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，…

正方形数，实际上就是自然数ɑ的平方ɑ²：

　　1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，…

那么，有没有这样的自然数，既是三角形数又是正方形数呢？有，并且有无限多个，它们是：

　　1，36，1225，41616，1413721，48024900，…

这类数是两个正方形数的积，它的一般公式是b²c²。

1＝1²×1²，b＝1，c＝1；

36＝3²×2²，b＝3，c＝2；

1225＝7²×5²，b＝7，c＝5；

41616＝17²×12²，b＝17，c＝12；

1413721＝41²×29²，b＝41，c＝29；

48024900＝99²×70²，b＝99，c＝70；

……

这也许还算不上多么奇特，可是自然数b、c与2的平方根，这两个风马牛不相及的事物之间，竟然有着非同寻常的关系，就让人匪夷所思了！

我们知道，2的平方根1.414213562…是一个无理数，它的近似值可以用下面一系列连分式表示：

三角形数、正方形数，既然可以看成点的集合，那么，如果把三角形数：

　　1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，…

“一层一层摞起来”，就可以形成“四面体数”：(四面体——底面是三角形的锥体。图略)

　　1，4，10，20，35，56，84，120，…

同样，如果把正方形数：

　　1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，…

“一层一层摞起来”，就可以形成“金字塔数”：(金字塔——底面是正方形的锥体。图略)

　　1，5，14，30，55，91，140，204，…

那么，有没有这样的自然数，既是正方形数又是金字塔数呢？有，但是只有一个，就是4900，这不能不让人感到有点意外！

自然数、三角形数、正方形数、四面体数、金字塔数之间，还有一些奇妙的性质。有的在前文中已经谈到，比如：

1、从1开始的连续自然数的立方和，等于相应的三角形数的平方。如,

从1开始的前3个自然数的立方和是1³＋2³＋3³＝1＋8＋27＝36，而第3个三角形数是6，6²也等于36。从1开始的前5个自然数的立方和是1³＋2³＋3³＋4³＋5³＝1＋8＋27＋64＋125＝225，而第5个三角形数是15，15²也等于225；

2、任意两个相邻的三角形数的和，都是正方形数。如，

三角形数1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，…中，3＋6＝9，21＋28＝49，45＋55＝100，而9、49、100都是正方形数；

而下面这条新的性质就更加难以想像：

　3、任意两个相邻的四面体数的和，都是金字塔数。如，

四面体数1，4，10，20，35，56，84，120，…中，1＋4＝5，4＋10＝14，10＋20＝30，20＋35＝55，35＋56＝91，56＋84＝140，84＋120＝204，而5、14、30、55、91、140、204都是金字塔数。

三角形数、正方形数、四面体数、金字塔数，都是自然数的化身。自然数就是这样，既朴实无华又奥妙无穷。难怪毕达哥拉斯学派对自然数会顶礼膜拜奉为神明。自然，是世间万物的本源，自然，又是世间万物的归宿。在数学中，自然数又何尝不是这样！