多边形数：数与形的梳理

0：多边形数：形与数本为一家！

 http://s10/middle/55954cfbx7458b6d14c79&690
古希腊人的观点：一切几何图形都是由数产生的，万物皆数！其数学家毕达哥拉斯发现和开创了“形数”的研究先例。

http://s1/middle/55954cfbx8b770460aa10&690

      三角形数，           四边形数，         五边形数，        六边形数

1：三角形数：

http://s1/middle/55954cfbx7458b46b1fa0&690

三角形数在九方图（乌兰螺旋）中呈现为螺旋状分布规律：

http://s14/middle/55954cfbx8b7780b2c76d&690

2：四边形数

http://s14/middle/55954cfbx8b770b78ba4d&690

    平方数也称正方形数，若 n 为平方数，将 n 个点排成矩形，可以排成一个正方形。

若将平方数概念扩展到有理数，则两个平方数的比仍然是平方数，例如， (2 × 2) / (3 × 3) = 4/9 = 2/3 × 2/3。

    在乌兰螺旋图（九方图）中，前贴曾指出：平方数位于45角到中心的对角线上，和中心到负135度角对角线的上一格中。

3：五边形数到9边形数：

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http://s1/middle/55954cfbx8b7709010a90&690

http://s15/middle/55954cfbx8b77b36a627e&690

http://s11/middle/55954cfbx8b770a29d17a&690

http://s6/middle/55954cfbx8b770acab6a5&690


4：多边形的公式或方程

上书方程的基本特征是：均为抛物线方程：图形化如下并于九方图的角度线上的抛物线方程曲线进行对比：

http://s3/middle/55954cfbx8b77f826abe2&690

    图中从三角形数到9边形数，其位置或上升速度比九方图中的角度线要慢或平缓，位置靠下。10边形到12边形则比九方图中的角度线要快，位置在其上方。这样就丰富了原来的抛物线曲线族，形成了完整的扇形曲线族。如果用于股市，有点类似于多条均线系统。

http://s14/middle/90961690gcfafb9d72cad&690

1：中心三角形数：

   1           4            10                 19                

http://s1/middle/55954cfbx8b7e41698e30&690

2：中心四边形数：

http://s15/middle/55954cfbxd72ef84199fe&690

3：中心五边形数：

http://s6/middle/55954cfbx8b7e42b58a35&690

4：中心六边形数

5：中心七边形数
前几个数字：  1，  8 ，  22  ，  43，  71，  106， 148 ，  197。。。 
http://s16/bmiddle/55954cfbx8b7e43c87bdf&690
6：中心八边形数：1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, 625, 729, 841, 961, 1089

http://s3/bmiddle/55954cfbx8b7e45086bd2&690

7：中心九边形数：1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, 703, 820, 946.

http://s9/bmiddle/55954cfbx8b7e4458dd08&690

8：中心十边形数：1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451,551, 661, 781, 911, 1051http://s3/bmiddle/55954cfbx8b7e43341122&690

      9：六角星数：

http://s4/middle/55954cfbx8b7eefb08e53&690

10：中心多边形数的公式或方程式：

上述方程式也是抛物线族。

参考信息：
http://staff.ccss.edu.hk/jckleung/xue_qu/polygon/polygon.html
http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=三角形數&variant=zh-cn
http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=平方数&variant=zh-cn
http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=三角平方數&variant=zh-cn
http://hk.geocities.com/goodprimes/OPolygon.htm

前面，在“有趣的图形数”一文中，曾经谈到过许多图形数。如，“三角形数”、“正方形数”等。类似的还有：能排成五角形的“五角形数”、能排成六角形的“六角形数”等等。

由于图形数非常直观醒目，只需经过简单处理就能看出，在各种图形数之间，存在着许多微妙的关系。这里就来说一说这个问题。

一、从下图可以看出，相邻的两个“三角形数”，可以组成一个“正方形数”。

　　　http://s12/mw690/001SrvnDzy6JCrZf3070b&690

　　如果用Tn表示“三角形数”（Triangle 三角形），用Sn表示“正方形数”（Square 正方形），其中的n表示阶数，上面的图形就能直观地表示出：

     　T1＋T2＝S2　　T2＋T3＝S3　　T3＋T4＝S4　　T4＋T5＝S5　　T5＋T6＝S6，

　　推而广之，就得到“三角形数”与“正方形数”之间的一种关系：

　　　　　　　　　　　　　　　Tn-1＋Tn＝Sn

二、下面是一个“五角形数”

 　　　　　　　　　　http://s12/mw690/001SrvnDzy6JCs3Ljppab&690

    这个“五角形数”可以看成是，一个用“●”表示的“三角形数”T4，和一个用“○”表示的“正方形数”S5拼成的（如图）：

　　　　　　　　　　 http://s5/mw690/001SrvnDzy6JCs9lxJ2d4&690

    如果用P5表示第5个“五角形数”（Pentagon 五角形），于是

　　　　　　　　　　P5＝T4＋S5

推而广之，就得到“五角形数”和“三角形数”与“正方形数”之间的一种关系：

　　　　　　　　　　Pn＝Tn-1＋Sn

取n＝5，根据“三角形数”的计算公式 Tn＝n(n＋1)/2，“正方形数”的计算公式 Sn＝n2，这个“五角形数”就是

　　　　　P5＝T5-1＋S5＝T4＋S5＝4(4＋1)/2＋52＝35

　　三、下面是一个“六角形数”

                   http://s5/mw690/001SrvnDzy6JCshh4ck14&690

　　设想把正中间那一竖行5个“○”再重复一次，就可以把这个“六角形数”看成是，由两个“正方形数”S5的和减去5形成的。

如果用S5表示第5个“正方形数”，用H5表示第5个“六角形数”（Hexagon 六边形），于是

　　　　　　　　　　H5＝2S5－5

推而广之，就得到

　　　　　　　　　　　　Hn＝2S5－n

取n＝5，这个“六角形数”就是

　　　　　　H5＝2S5－5＝2×52－5＝45

由此可见，图形数在推导数量关系时，有着非常重要的价值。这正是由于图形数具有直观醒目数形合一的特性，因而便于思考所决定的。

古希腊人并非只对平面上的图形数情有独钟，对空间的图形数也同样进行了深入的研究。如，

他们把“三角形数”一层层重叠起来，就形成了“三角锥形数”（如图）：

          http://s4/mw690/001SrvnDzy6JCsmQD9913&690
    把“正方形数”一层层重叠起来，就形成了“四角锥形数”（如图）：

          http://s1/mw690/001SrvnDzy6JCsuFaRG40&690 

　　计算“三角锥形数”就需要求从T1到Tn连续“三角形数”之和；计算“四角锥形数”就需要求从S1到Sn连续“正方形数”之和。

下面就让我们用图形数的方法，来推导一下，“求从T1到Tn连续三角形数之和的公式”：

取3个从T1到T4的连续“三角形数”T1、T2、T3、T4，其中一个用“●”表示，另外两个用“○”表示，并作适当的排列，得到一个长方形（如图）：

                http://s11/mw690/001SrvnDzy6JCszc6oy5a&690

　　很明显，这个长方形的长等于1＋2＋3＋4行，宽等于4＋2行，即

　　　　3(T1＋T2＋T3＋T4)＝(1＋2＋3＋4)(4＋2)

推而广之，

　　　　3(T1＋T2＋T3＋…＋Tn)＝(1＋2＋3＋…＋n)(n＋2)

因为1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)/2，所以

　　　　3(T1＋T2＋T3＋…＋Tn)＝n(n＋1)(n＋2)/2

于是得到“求从T1到Tn连续三角形数之和的公式”：

　　　　T1＋T2＋T3＋…＋Tn＝n(n＋1)(n＋2)/6

如，求T1＋T2＋T3＋…＋T10＝？

这里，n＝10，所以

　　T1＋T2＋T3＋…＋T10＝10(10＋1)(10＋2)/6＝10×11×12/6＝220。

验算：

　　T1＝1，

　　T2＝1＋2＝3，

　　T3＝1＋2＋3＝6，

　　T4＝1＋2＋3＋4＝10，

　　T5＝1＋2＋3＋4＋5＝15，

　　T6＝1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，

　　T7＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，

　　T8＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，

　　T9＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45，

　　T10＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝55，

　　　　 1＋3＋6＋10＋15＋21＋28｜36＋45＋55＝220。

完全正确。

而“求从S1到Sn连续正方形之和的公式”，前面在“有趣的图形数”一文中，已经用图形数法得出过：

　　　 　12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)/6

其实，在我国南宋时期，著名数学家杨辉也曾经用独特的“中国式图形数”方法，得出了这个公式。下面，就让我们重温一下他所使用过的方法：

取3份12个、22个、32个、……、n2个小立方体，分别把它们组成A、B、C那样三个阶梯状的四角锥形，再把它们拼成最右边那样（如图，以n＝4为例）：

          http://s12/mw690/001SrvnDzy6JCsFD0n16b&690

　　然后，把最上面突出的Tn个小立方体，从水平方向一分为二，再凹凸相对合在一起，正好铺满一层，于是得到一个长方体。这个长方体的底面，长n＋1、宽n，而高等于n＋1/2，体积是

　　　　　　　　　　n(n＋1)(n＋1/2)

因为这个立方体是由3份12个、22个、32个、……、n2个小立方体拼成的，所以

　　　　3(12＋22＋32＋…＋n2)＝n(n＋1)(n＋1/2)

于是得到“求从S1到Sn连续正方形数之和的公式”：

　　　　12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(n＋1/2)/3＝n(n＋1)(2n＋1)/6

即

　　　　12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)/6

这个结果，与希腊人用图形数法得到的公式一模一样。不过，杨辉所用的方法，更直观，更容易理解，真称得上是“奇思妙想”、“精彩绝伦”!我们不能不对先贤的聪明睿智佩服得五体投地，不能不为我国古代数学的光辉成就倍感骄傲！

综上所述，“图形数”无疑是一个永恒的话题，是一座蕴藏着无穷奥秘的启迪智慧的宝库！

让我们怀着一颗赤诚的心，满腔创新的热忱，踏着前人的足迹勇敢地前进吧！