例（1996年全国初中数学联赛试题）如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的…………………(　　)
　　(A)内心　(B)外心　(C)重心　(D)垂心
　　

分析：当该直线过三角形的顶点时，三角形是等腰三角形，这条直线（下文笔者称具有这样特征的直线为三角形的周积平分线）是底边的中垂线，显然它过内心、外心、重心和垂心。当该直线不过三角形的顶点时，结论: 三角形的周积平分线，一定经过此三角形的内心．

 

　　证明： 如图1，设GH为△ABC的一条周积平分线，P为△ABC的内心，令△ABC的内切圆半径为r．

 

 

 

　　不失一般性，设△ABC的三边长为，，， 三边两两互不相等，记，令G、H两点分别在边AB、AC上．

 

　　∵ AG+AH=

 

　　连接PA、PB、PC、PG、PH，则

 

===

 

          ==

 

　　又∵=+=+=

 

∴=

 

∴G，P，H三点共线，即GH经过点P．

 

　　可见，任意一个三角形，它至少存在一条周积平分线，最多有三条周积平分线(如等边三角形)．这些周积平分线必过此三角形的内心．

 

而且，可以证明过内心的一条直线只要平分了周长也就必然平分面积；同样可以证明过内心的一条直线平分面积也必然平分周长，它们互为充要条件。下文笔者将侧重于展示过三角形的内心平分三角形的面积和过三角形的内心平分三角形的周长的周积平分线的尺规作图法。

 

若三角形是等腰三角形，那么它的一条周积平分线过它的顶角顶点和底边中点。

 

所以，下面笔者把研究的重心放在三边互不相等的三角形上：

 

1、过内心P作一直线，使该直线将△ABC的面积平分为两等份（如图2）

 

作法：① 取AC的中点D，作△ABE∽△APD(两个三角形所处的位置犹如绕点A发生了位似旋转变换)，A、P、E三点在一条直线上；

 

② 再作PE的垂直平分线并且在该垂直平分线上取一点O，使∠POE=∠BAC；

 

③ 以O为圆心，OP为半径作圆，该圆与AB相交于点G（取与A点较远的交点），则由P、G两点所确定的直线平分△ABC的面积。

 

注意：①作△APD时，要让AP>AD；②以O为圆心，OP为半径作圆，该圆在边AB上要有交点(与A点较远的交点G必须在线段AB上)，如果不能满足这两点，就换另外两个顶点或中点试试.

    证明：由△ABE∽△APD可得：AD·AB = AP·AE ……（1），∠PAB=∠PAD，设直线GP与AC的交点为H，因P、E、G三点共圆，所以⌒ PE对的圆周角∠PGE=∠POE=∠BAC=∠PAC=∠PAB，所以∠APH=∠AGP+∠PAB=∠AGP+∠PGE=∠AGE，很容易证明△AGE∽△APH，由此可得AG·AH = AP·AE，结合（1）式可知道AD·AB = AG·AH，从而有AD·ABsin∠BAC =AG·AHsin∠BAC，由于点D是AC的中点，所以有：AD·ABsin∠BAC =即AG×AHsin∠BAC =，故直线GH平分△ABC的面积。

 

也可由AD·AB = AG·AH变形成比例式：AD:AH = AG:AB，所以连结GD、BH(图略)，则GD∥BH，再连结BD得中线(图略)，利用两平行线之间同底等高的三角形面积相等的原理，易证：，这样就可以回避用正弦定理扩展出的三角形面积公式来理解：直线GH平分△ABC的面积了。

 

那么，GH平分△ABC的周长吗？

 

    因为P为△ABC的内心，所以令△ABC的内切圆半径为r（即P点到△ABC的三边的距离），可得：=+，=++，又因，所以有：AG+AH=(AB+BC+AC），故直线GH也平分△ABC的周长。
    2.过内心P作一直线，使该直线将△ABC的周长平分为两等份（如图3）

 

    ① 分别在边AB、AC或其延长线上截取AD、AF，使AD=AF=（可以把AB，AC的长度转化到直线BC上，再取AB、BC、AC三条线段之和的四等分）；

 

    ② 分别过点D作直线AB的垂线与∠BAC的平分线AP相交于点E，连结EF，易证EF⊥AC，ED=EF；

 

    ③ 过点P、E作圆（作圆方法略，见图2）与AB相交于点G（取与A点较远的交点），使⌒ PE对的圆周角∠PGE=∠PAC=∠PAB；

 

④ 由P、G两点所确定的直线与AC的交点为H，GH平分△ABC的周长。

 

 

证明：连结EG、EH，因为∠PGE=∠PAC，所以点A、G、E、H四点共圆(可假设点A在G、E、H三点共圆的圆内或圆外两种情况,得证)，于是∠DGE=∠FHE(因为同一条弦AE所对异侧的两个圆周角互补)。又因为∠EDG=∠EFH=，ED=EF，所以≌，这样就得到DG=FH，这样AG+AH=AD+AF=，因此直线GH平分△ABC的周长。

 

那么，GH平分△ABC的面积吗？

 

    因为P为△ABC的内心，所以令△ABC的内切圆半径为r（即P点到△ABC的三边的距离），可得：=+，=++，又因AG+AH=，所以有：，故直线GH也平分△ABC的面积。

 

综上所述，三角形的周积平分线必过它的内心；过三角形内心的一条直线平分周长也必然平分面积；过三角形内心的一条直线平分面积也必然平分周长。

 

另外，本文所阐述的过三角形内心平分周长的方法，可以推广到：过三角形内任意一点作平分周长的直线（提示：如图4，P是△ABC内任意一点，AE是∠BAC的平分线，∠PGE=∠EAC），这个问题留给读者验证。

 

 

求证：对于任意一个三角形，一定存在一条直线，它把这个三角形的周长和面积同时分成了两等分。

大家知道，三角形的三个内角的角平分线一定交于一点，这个点就是三角形的内心，它到三角形三边的距离是相等的。一个令人吃惊的结论是，经过内心的直线如果平分了三角形的面积，就一定平分了三角形的周长！

http://s11/mw690/821512b5gde74b2934d5a&690

如图， I 是三角形 ABC 的内心， ID 、 IE 、 IF 是 I 到三角形三边的垂线段，它们的长度是相等的，不妨把这个长度值记作 r 。假设直线 PQ 经过点 I ，并且平分三角形的面积。这说明， PA · r / 2 + AQ · r / 2 = PB · r / 2 + BC · r / 2 + CQ · r / 2 ，也就是 PA + AQ = PB + BC + CQ 。因此，直线 PQ 也平分了三角形 ABC 的周长。

http://s1/mw690/821512b5gde74b47b9e60&690

如果对于任意一个三角形，都存在一条经过内心并且平分面积的直线的话，我们的问题就解决了。事实上，对于任意一个三角形，以及三角形内的任意一个定点，都存在一条经过该点并且平分面积的直线的。这很容易看出来。首先，过该定点随便作一条直线。如果这条直线正好平分了三角形的面积，问题就直接解决了。否则，将这条直线绕着定点旋转 180 度，你会发现它回到了原来的位置，但是直线左侧的面积和直线右侧的面积却颠倒了过来。这意味着，假设最开始的时候，直线左侧的面积小于整个三角形面积的1/2，转完之后，直线左侧的面积就将大于整个三角形面积的1/2；反过来，假设最开始的时候，直线左侧的面积大于整个三角形面积的1/2，转完之后，直线左侧的面积就将小于整个三角形面积的1/2。然而，在旋转过程中，直线左侧的面积始终在发生连续的变化，因此必然有一刻，直线左侧的面积正好等于三角形面积的1/2。这就是一条平分三角形面积的直线。根据前面的结论，它也就同时平分了周长。

我们不妨把一个三角形中，既平分周长又平分面积的直线叫做“均分线”。有的读者或许会很快发现，在一个三角形中，这样的均分线很可能不止一条。如下图，假如 PQ 是一条均分线，那么把 PQ 沿着图中所示的角平分线翻折到 P'Q' ，容易证明三角形 PIQ' 和 P'IQ 是全等的，于是线段 PQ' 和线段 P'Q 的长度相等，并且两个三角形的面积相等。因此，原来 AP + AQ 是三角形周长的一半，现在 AP' + AQ' 仍然是三角形周长的一半；原来三角形 APQ 的面积是整个三角形面积的一半，现在三角形 AP'Q' 的面积仍然是整个三角形面积的一半。可见， P'Q' 也将是一条均分线。因此，这个三角形至少有两条均分线。

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对于一些更特殊的三角形来说，均分线可能还会更多，例如在一个等边三角形当中，均分线至少有三条（它们也就是等边三角形的三条对称轴）。1997 年， George Berzsenyi 曾经猜想，一个三角形最多只能有三条均分线。这个猜想是正确的吗？ 2010 年 4 月， Dimitrios Kodokostas 在 Mathematics Magazine 上发表了一篇题为 Triangle Equalizers 文章，完美地解答了这个问题。

刚才我们证明了，经过内心的直线如果平分了三角形的面积，就一定平分了三角形的周长。根据同样的道理，经过内心的直线如果平分了三角形的周长，就一定平分了三角形的面积。事实上，我们可以证明，三角形的均分线是一定经过内心的。假如下图中的直线 PQ 是一条不过 I 点的均分线，由于 BP + BQ 等于三角形周长的一半，因而三角形 BPI 的面积加上三角形 BQI 的面积就是整个三角形面积的一半，这与三角形 BPQ 的面积是一样的，可见 I 一定在直线 PQ 上。

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