对数的起源

●背景：

十五世纪欧洲文艺复兴起，天文学和航海学逐渐发达，由于这两种事业需要大量的计算，于是数学家们开始思考一种精准的计算方法来适应大量的计算。

将乘积转变为和差：

●十六世纪天文学家的积化和差→

2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)

2sinAsinB=cos(A-B)-cos(A+B)

这两种公式由于需要用到三角函数中的正弦和余弦，还是不够简便，但对耐普尔发明对数有了很大的鼓励。

● 舒开

1484年法国巴黎大学医学学士写了<关于数的科学>一书，书中他将等差数列和等比数列进行比较，发现一个有趣的性质：

2+4=6可以化成4x16=64

0,1,2,3 , 4 , 5 , 6 ,…

↑  ↑   ↑

1,2,4,8,16,32,64,…

等比数列中两项的商在等差数列中的对应项，是两项在等差数列中对应项的差。

● 史提非

重新发现了舒开的结果，把这种对应关系扩充到负指数及分指数上，例如，r²除以r³得到r ^-1，这个值对对应到等差数列中的-1。

＊    ●耐普尔(Napier)对数：耐普尔对数

耐普尔研究机缘:

耐普尔原本是专研计算数和三角学的，在他的研究过程中，他发现Stifel所指出的等比以及等差数列数间格过大而不适用于计算，想找方法改善，此时刚好遇到刚丹麦回来的苏格兰王的医生John Craig，告诉他天文台prosthaphaeresis方法，其意为加减，但事实上是将函数乘机转为和差的方法。

。此公式乃引用三角学中积化和差:

2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)

2sinAsinB=cos(A-B)-cos(A+B)

 方法 : 将预算的数A和B的乘机时，先视其为三角函数值查表(注意:数值自行先画成<1的小数，即呈上1/10ⁿ) ，找出对应的角a、b(注意:公式为2cosAcosB，算cosA值时，代的A值须为原数的1/2) ，接下来找出cos(A+B)及cos(A-B) ，在成上10ⁿ，究是答案了(注意:其值还是个近似值)

 

＊ 正题—＞耐普尔对数之精义:

process: 耐普尔认为等比数列中两数的间格可能太大，所以就选取了一个很接近1的数来做公比r，他选择r=1-10^-7=0.9999999，这样间隔就会便很小很小，再来，怕有小数点的麻烦，所以Napier把每个乘幂都呈上10⁷，得

 

N=10⁷(1-10^-7)^LàNap.logN=LàNap.log10⁷=0 (Nap.log9999999=1)

耐普尔称L为N的”对数”，又当Nap.logN=L时

N/10=[(1-10^-7)^10的7次方]^{L/10的7次方}

(因为e 为数列{(1+1/n)ⁿ}的极限值)

所以nà无限大时lim(1-1/n)ⁿ值为1/e，可知(1-10^-7很接近1/e)

N/10⁷≒(1/e)^{L/10的7次方}àL/10⁷=log_1/e(N/10⁷)

可推  log_1/e(N/10⁷)=L/10⁷

  由于以上这些，有人认为Napier为自然对数发明人，但不全然，因为Nap.log与log_1/e不确实相同

  Napier引进的对数的方法不像前所说的代数化，而是用线段(几何式)来表示

最先考虑沿直线运动的两点 P,Q。P 是在定长 AZ 之始点 A 到终点 Z 的运动。点 Q 则无限制地从直线 A'Z' 之始点 A' 点向 Z' 方向做运动，P,Q 以同速出发。点 Q 以等速运动，点 P 之速度由此点到 Z 的距离来决定，做减速运动。如点 P 在 B 点时，Q 在 B'，此时就称

A'B' 为 AB 的对数。

 

 

●比尔吉(Burgi)对数：

比尔吉是瑞士的一位钟表匠，对于天文仪器也很有兴趣，他和耐普尔一样，在对数方面选择了与1极为接近的数为底，只不过比尔吉选择比1略大的数1＋10^-4，所以比尔吉的对数函数是递减函数。

比尔吉和耐普尔对数比较：

1) 底

比尔吉：a=1.0001

耐普尔：a=1-0.0000001=0.9999999

比尔吉	y	1	2	3	…
	x	(1.0001)1	(1.0001)2	(1.0001)3	…
耐普尔	y	1	2	3	…
	x	(1-1/107)1	(1-1/107)2	(1-1/107)3	…

2) 变化速度

比尔吉：10⁴1/x

耐普尔：-10⁷1/x

3) 用y*代替y后

  比尔吉：

  y*=1/10⁴，2/10⁴，3/10⁴，…代替y=1，2，3，…→Δy*=1/10⁴

   变化速度变为1/x

  耐普尔：

  y*=-1/10⁷，-2/10⁷，-3/10⁷，…代替y=1，2，3，…→Δy*=-1/10⁷

   变化速度变为1/x

4) x与y*的关系

比尔吉：∵x=(1.0001)y*，而y=10⁴y*

        ∴x=(1.0001)^104y*=[(1.0001)¹⁰⁰⁰⁰]^y*

耐普尔：∵x=(1-1/10⁷)^y，而y=-10⁷y*

        ∴x=(1-1/10⁷)^-107y*=[(1-1/10⁷)^-107]^y*

(1.00001)¹⁰⁰⁰⁰=2.718116…

(1-1/10⁷)^-107=2.71

5) 用变数n(自然数)取代对数底中10⁴和10⁷，当n无限增大→得到自然对数之底

用x={(1+1/n)ⁿ}^y

代替x={(1.0001)¹⁰⁰⁰⁰}^y={(1+1/10⁴)¹⁰⁴}^y

lim_n→∞(1+1/n)ⁿ=2.71828…

总结：

耐普尔对数的发明，使得承除开方等计算方法更为简便，不论是天文航海上或是日常生活中皆被广泛应用；不过现在因为计算机的发明，对数表也就逐渐没落了。

附录造对数表的方法:

a.      Napier制作对数表的方法: Napier引入对数表的目的是为简化三角函数对数值表,他以sin90∘为 ,然后,求出每隔1分的正弦值,他以89º57'的正弦值等于0.9999996为例,他遂次计算 , , ……….而他发现 =0.9999996于是他的对数表中有于是他的对数表中有NAP.log  =NAP.log9999996=4 又如他求的 的正弦值=的正弦值=0.0008726645… 然后又得出 于是对数表中有于是对数表中有NAP.log =NAP.log8727=70439564                                                           

	sin	log	tan		log	sin
0	0	infinitum	infinitum		0	10000000	60
	2909	81425681	81425680		1	10000000	59
2	5818	74494213	74494211		2	9999998	58
3	8727	70439564	70439560		4	9999996	57
4	11636	67562746	67562739		7	9999993	56
5	14544	65331315	65331304		11	9999989	55

  

      计算 , , ……….时, 有一种实用方法:令 则可得  

也许Napier就是根据上述关系式由 求 。

 

b.Henry Briggs的常用对数表:利用几何平均数与算术平均数的对应

数	对数
A=1	0
B=10	1
C= = =3.162277	0.5
D= =5.623413	0.75
E= =4.216964	0.625
F= =4.869675	0.6875
G= =4.531583	0.65625
H= =4.697588	0.671875
I= = 4.613839	0.6640625
J= = 4.655525	0.66796875
K= =4.634635	0.666015625

1617年纳皮尔去世Henry Briggs求出1至1000的十四位常用对数表1624年Henry Briggs把常用对数表加长到1至20000,

90000到100000的十四位常用对数表至于20000至90000是由Adriaen Vlacq补上。

c.清圣祖敕编完成的数理精蕴中用中比例求假数(对数),以现代数学符浩表示，乃是： →

以 为例

			0.5000000000
			0.7500000000
			0.8750000000
			0.9375000000
			0.9687500000
(因 大于9) 故			0.9531250000
		……………………………..	………………….
依此类推…..直到

事实上, 的小数点后面前九位是0.954242509…….有七位正确的值但很辛苦的喔

d.递次自乘求假数(对数),以现代数学符浩表示，乃是： , 该书以 为例,因为 共有4933位 。数理精蕴更进一步写出共有41375655308位得

小数点后有八位正确。

e. 递次开方求假数(对数),以现代数学符浩表示，乃是： 至于如何求 ？数理精蕴有一种有趣的方法

书中以10为例，将10作五十四次开平方，令 表示10的 次方根

    当a,b满足

   这个数清朝数学家李善兰把他称为中国对数表根。以为例首先计算2的乘幂直到求得最高位的值为1而次高位为0时才停止。已知  

 

 f.常用对数的根值法

 

用上表我们能算出1到10之间任何数的常用对数

G.用梅卡级数求自然对数值

 

一段野史：真数的来历