蒲丰投针试验是一个很有意思的问题。下面先介绍一下该问题及其解法。以下内容来来源于网络：

1777年法国科学家Buffon提出下列著名问题。 

（投针问题）平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于a，向此平面任投一长度为l（l小于a），试求此针与任一平行线相交的概率。 
解：以x表示针的中点到最近的一条平行线的距离，β表示针与平行线的交角。 
显然有0＜＝x＜＝a／2，0＜＝β＜＝Pi。用边长为a／2及Pi的长方形表示样本空间（构建直角坐标系，竖向是x长度变量,横向是β弧度变量）。为使针与平行线相交，必须x＜＝l*sinβ/2, 满足这个关系的区域面积是从0到Pi的l*sinβ对β的积分，可计算出这个概率的值是(2l)／(Pi*a)。

参考资料：《概率论与数理统计》合肥工业大学出版社

蒲丰投针问题，在平面上画出等距离a(a>0)的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长l(l的针，试求针与任一平行线相交的概率。

答案(2l)/(Pi*a)，提示：令M表示针的中点，x表示针投在平面上M与最近一条平行线的距离，y表示与最近一条平行线的交角，则0<=x<=a/2，0<=y<=Pi，针与最近的平行线相交的重要条件为x<=(lsiny)/2

参考资料：《概率论与数理统计》哈尔滨工业大学数学系组编 许承德 王勇 主编

这个问题看起来很难入手。核心问题是找不到Ω，也不好确定符合目标的样本，根本上是找不到描述针的状态的方法（其实也有其他方法描述，我想过一些，但是难解，取中点的方法太好解了）。解题思路是将针的位置状态转化为“中点与平行线的距离a”和“针与平行线夹角β”。由于这两个参数可以完全确定针的状态，0＜＝x＜＝a／2，0＜＝β＜＝Pi 即构成了样本空间的总体，x＜＝l*sinβ/2，即构成了符合目标的样本。对于两个变量进行积分运算，可以得到概率值。值得一提的是，可以用这种方式得到pi的值。概率论真是非常神奇，竟然以试验的方法得到某些常数值。数学这种理念性的东西竟然可以和试验相结合。

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投三角形问题

其实上面不是这篇文章的重点，上面的东西已经随处都有了。这里主要想谈的是另一个问题：

平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面上投掷一个边长为abc（小于d）三角形，求三角形与平行线相交的概率。这个问题我想了很久，昨天突然明白是怎么回事。鉴于网上缺乏对此问题的介绍，所以很想讨论一下这个问题，希望对大家有所帮助。

容易想到蒲丰投针问题是该问题的基础，三角形与平行线相交关键是三边与平行线相交。但实际做起来错法实在太多，多数方法是没有能够充分考虑到a\b\c三边的非独立性，即其中一边和平行线相交时另一边是否相交是非独立的。

那么这个问题到底怎么做呢？一个也许不是太容易注意到的细节是：三角形与平行线相交时，必定是两边同时与其相交，不多不少。（这个说法不是太准确，不过顶点与平行线相交的那种情况概率为0，所以这样说也不过分）下面用加法公式来解决这个问题：

分别记事件A、B、C为“边a、b、c与平行线相交”，则要求的是P(A∪B∪C)。根据加法公式： P(A∪B∪C)=P（A）+P（B）+P（C）-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)。根据上面的结论，已经可以看出P(A∪B∪C)= P(AB)+P(BC)+P(AC)，而P(ABC)=0。因此有P(A∪B∪C)= [P（A）+P（B）+P（C）]/2， 即（a+b+c）/pi*d。

【详细点的步骤： 

P(A∪B∪C)=P（A）+P（B）+P（C）-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

P(A∪B∪C)= P(AB)+P(BC)+P(AC)

=>P(AB)+P(BC)+P(AC) = P（A）+P（B）+P（C）-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

P(ABC)=0    

右式P(AB) P(AC) P(BC)诸项移到左边，  

2*P(A∪B∪C) = 2 *（ P(AB)+P(BC)+P(AC)  ）= P（A）+P（B）+P（C）

除以2即可。  P(A)诸项由上面的蒲丰投针可以得到具体的表达式。】

【指城京阳同学的思路： 

P(AB)+P(AC)=P(A)，也即如果a与平行线相交必是ab 或者 ac 同时相交。

同理写出P(B)  P(C)，加起来，除以2。     本质上一样的.. 处理方法有一点点不同而已。

 原文有点跳步了】

（有问题的话可以在下面留言）

BY  MiltonDeng   (Amber.)   FROM 厦大