广东省深圳市南头中学 518052

            本文发表于《广东教育》（高中版）2012年第7-8期

1．题目及标准解答

设http://s11/middle/a67fa5134c43d8d0de24a&690．

（Ⅰ）求曲线http://s1/middle/a67fa5134c43d8d24d4a0&690为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；

（Ⅱ）过原点且斜率为http://s14/middle/a67fa5134c43d8dd8682d&690的值；若不存在，请说明理由．

（Ⅰ）解：如图1，设http://s13/middle/a67fa5134c43d8df96b1c&690，

可得http://s12/middle/a67fa5134c43d8e11b20b&690． ①

因为http://s2/middle/a67fa5134c43d8e336ee1&690． ②

将①式代入②式即得所求曲线http://s10/middle/a67fa5134c43d8e4abaa9&690，所以

当http://s15/middle/a67fa5134c43d8e7e6d6e&690；

当http://s13/middle/a67fa5134c43d8eaa575c&690．

（Ⅱ）解法1：如图2、3，http://s15/middle/a67fa5134c43d8ed406fe&690，

直线http://s8/middle/a67fa5134c43d8efa6517&690的方程并整理可得

http://s8/middle/a67fa5134c43d8f0b5007&690．

依题意可知此方程的两根为http://s16/middle/a67fa5134c43d8f176f5f&690，于是由韦达定理可得

http://s7/middle/a67fa5134c43d8f282eb6&690．

因为点H在直线QN上，所以http://s11/middle/a67fa5134c43d8f373eaa&690．

于是http://s8/middle/a67fa5134c43d8f44e6f7&690．

而http://s3/middle/a67fa5134c43d8f88cd52&690，

故存在http://s10/middle/a67fa5134c43d8fb3d029&690．

解法2：如图2、3，http://s4/middle/a67fa5134c43d8fe2bd63&690，

因为http://s13/middle/a67fa5134c43d8ffc39cc&690 两式相减可得

http://s3/middle/a67fa5134c43d900c7252&690． ③

依题意，由点http://s5/middle/a67fa5134c43d903de9a4&690不重合，

故http://s16/middle/a67fa5134c43d904d76df&690． ④

又http://s14/middle/a67fa5134c43d90895d8d&690．

于是由④式可得http://s16/middle/a67fa5134c43d9082e69f&690．

而http://s5/middle/a67fa5134c43d90c29374&690，

故存在http://s15/middle/a67fa5134c43d90f008ee&690．

2．试题评析与不同解法及拓展

本题主要考查圆锥曲线中轨迹的求法、直线与圆锥曲线的位置关系；考查方程的思想、转化与化归思想、分类讨论思想、设而不求和整体思想及相关点法等；考查学生综合运用数学知识和方法解决数学问题的能力、几何与代数语言的转化能力及计算能力等．是一道综合性于一体的中高档题．

第（Ⅰ）小题的点M通过动点A与已知圆的关系，把点A的坐标用点M的坐标表示，然后代入已知圆的方程得到解决，其本质是求轨迹方程的相关点法，即

当生成轨迹的动点M随着曲线http://s8/middle/a67fa5134c43d9122e7b7&690，即得动点M的轨迹方程．

从映射（变换）的角度看，就是在映射http://s2/middle/a67fa5134c43d916046c1&690）的问题，归根结底是基本的换元、消元、列解方程（组）问题，因而，上述解法就是求解相关点轨迹问题的通法，是几何问题代数化的基本数学思想的体现．另外本小题还可有如下解法：

另解1：设点http://s6/middle/a67fa5134c43d91920b45&690为所求．下略．

另解2：设点http://s3/middle/a67fa5134c43d9218eef2&690)

另解3：设点的坐标为http://s8/middle/a67fa5134c43d92418447&690

解得：http://s14/middle/a67fa5134c43d924d0ead&690，即为所求．下略．

平面向量知识始终是解决圆锥曲线问题的重要工具．特别是涉及到距离（或距离的比）、角度、位置关系（平行、垂直、共线等）等方面尤为方便．

第（Ⅱ）小题可拓展如下：

过原点且斜率为http://s8/middle/a67fa5134c43d92a04587&690满足的关系；若不存在，请说明理由．

解答如下：

解：http://s3/middle/a67fa5134c43d92bb9ee2&690，

直线http://s2/middle/a67fa5134c43d92c951b1&690的方程并整理可得

http://s7/middle/a67fa5134c43d92cae5c6&690

依题意可知此方程的两根为http://s4/middle/a67fa5134c43d93041a23&690，于是由韦达定理可得

http://s7/middle/a67fa5134c43d93172116&690，

又因为点H在直线QN上，所以http://s5/middle/a67fa5134c43d93196dd4&690．

于是http://s6/middle/a67fa5134c43d9329e895&690．

而http://s16/middle/a67fa5134c43d93531bbf&690轴上．

3．试题的渊源

3.1源于高考题

http://s11/middle/a67fa5134c43d93567f8a&6902011年高考数学陕西卷理科第17题（以下简称原题）如下：

如图，设Ｐ是圆http://s9/middle/a67fa51307a0628563fa8&690．

（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

（2）求过点（3，0）且斜率为http://s9/middle/a67fa5134c43d9371b3e8&690的直线被C所截线段的长度．

显然，本高考题第（Ⅰ）小题完全从原题第（1）小题改编而来，但由于题目中涉及到参数m，所以无论从思维跨度还是数学思想和数学能力的考察又高于原题，综合性较强．

3.2源于教材

http://s11/middle/a67fa5134c43d9372c43a&690本题的第（Ⅰ）小题从题面形式、结构和解法上来说，完全等同于人教A版教材选修2-1《2．2．1椭圆及其标准方程》第41页例2：

教材在解完后，马上提出“思考：从例2中你能发现椭圆与圆之间的关系吗？”，意图让学生知道，圆按照某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆．但由于学生缺乏必要的变化发展的引导过程，学生一般并不能立即体会这种关系．教师可以在“思考”栏目里面再加入以下问题：

（1）若将条件“线段PD的中点M”改为“线段PD的三等分点M”，则点M的轨迹又是什么？

（2）若将条件“线段PD的中点M”改为“点M在线段DP的延长线上，且http://s15/middle/a67fa5134c43d937643de&690”，则点M的轨迹又是什么？（课本第50页B组第1题）

这样通过点M的运动方程，学生才能真正发现椭圆与圆之间的关系，即将圆纵向往里压缩，得到焦点在http://s14/middle/a67fa5134c43d9381178d&690轴上的椭圆．这样的解决设计，也同时体现了矛盾统一和联系的辨证观点．

数学发展观认为：数学如同其他事物一样，是不断在运动、变化中发展的，又在不断发展中展现新的活力与生命．学生在学习一个数学新知识时，若能基于数学发展观，从问题的实质入手，对问题的条件、结论及解题方法等方面进行全方位探讨，在相对完整的运动发展的过程中体会到新知识的应用价值，那么这样的学习不但是深刻有效的，而且是有趣的．

显然本高考题将教材例题改编而成，选材源于教材而又高于教材，这是高考命题一贯的原则，也是高考命题的源泉．由此，这对我们的中学数学教学带来如下的：

4．教学启示

（1）重视基础知识的教学，形成准确的知识体系，构建完整的知识结构．平时对数学基础知识的教学，决不能走马观花，而应在准确、系统、灵活上下功夫，要注重知识过程的产生和形成过程，关注数学定理、公式的推导过程、运用及例题的求解过程，从中构建知识体系与知识结构．

（2）改进数学教学方式，不断引导学生主动探究．数学探究是新课标理念中最重要、最核心的理念之一，是高中数学课程中引入的一种全新的学习方式，有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步理解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神；有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力；有助于发展学生的创新意识和实践能力．因此，教学中教师应努力成为数学探究课题的创造者，有比较开阔的数学视野，积极积累指导学生进行数学探究的资源，要成为学生进行数学探究的组织者、指导者和合作者，改变过去传统的“以教师为中心”的教学理念，也不能代替包办学生的一切学习活动．

（3）重视数学思想方法的学习，强化解题思维过程的训练．立足于基础，淡化技巧，掌握通性、通法，加强对数学思想方法渗透、提炼与运用是高考命题的基本原则．数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象与概括，它蕴涵于数学知识发生、发展、应用的过程中．特别需要教师在讲解例题时去引导学生提炼其中的数学思想和方法，不能就题论题，错过教学时机和浪费教学资源．