精彩的足球比赛总是能吸引众人的目光，不管是真懂球的，还是自认为懂球的，甚至也包括不懂球的。球场上双方的11名球员都在主教练的指挥下按照某种战术需要排成一定的阵型，而主教练在比赛进行的过程中还会因势利导地对人员或阵型作出调整。同样的人数，甚至是同样的人员，仅仅是阵型的变化却往往足以对场上局势和比赛结果造成决定性的影响。作为一个多年来从来不踢基本不看的伪乒羽球迷，我对足球完全是外行看热闹，因此下面要说的是数学中的“变阵”，其精彩性我认为更胜一筹，真可谓是鬼神莫测之机，天地包藏之妙。

任给二元映射
f:X × Y → Z
  (x,y) ⟼ z=f(x,y)，
可有如下变阵(等价看法)。固定x，可将f(x,y)看成关于y的映射
[f](x):Y → Z
       y ⟼ [f](x)(y)=f(x,y).
如果用M(Y,Z)表示从Y到Z的映射的集合，则二元映射f等价于如下映射
[f]:X → M(Y,Z)
    x ⟼ [f](x).
显然，也可以先固定y，从而将f“变阵”为从Y到M(X,Z)的映射。在上述等价看法下，二元映射f具有的特殊性质往往也等价地体现在[f]上。下面将举一些实例加以说明。

1.群在集合上的作用“变阵”为群的置换表示。群G在集合S上的作用是一个二元映射f:G × S → S，满足f(e,s)=s(e是G的单位元)以及结合律f(gh,s)=f(g,f(h,s))。由此可以推出，[f](g):S → S是双射，并且[f]是群G到S上的置换群的同态，这称为群的置换表示。群在集合上的作用等价于群的置换表示。特别地，如果考虑群G在自身上的左乘作用，则对应的置换表示是忠实的，从而得到Cayley定理：任何有限群同构于某个n元对称群的子群。

2.线性空间上的非退化的对称或反对称双线性形式“变阵”为线性空间到其共轭空间的同构。设V为域F上的有限维线性空间，f:V × V → F为V上的双线性形式。f的双线性性等价于[f]是V到V*的线性映射。若f具有对称性或反对称性，则可定义正交性以及正交补。V的正交补称为Null Space，若其为零子空间，则f称为非退化的，此时[f]为单射，从而是同构，其逆给出V*在V上的表示。
(2.1)Hilbert空间的Riesz表示定理是此结果在无穷维的推广。
(2.2)Riemann流形上的梯度流以及辛流形上的Hamilton流都是将流形上的光滑函数的微分给出的余切向量场通过上述方式变换为切向量场后定义的。
(2.3)在线性代数的理论中，方阵作为一个基本工具，可以表示两种对象。具体地，取定n维线性空间V的一组基，则V上的线性变换和双线性形式都一一对应于n阶方阵，但这两者却并不等同，因为当我们变换另一组基时，前者的矩阵是相似变换，而后者的矩阵是合同变换。注意到，V上的双线性形式等价于为V到V*的线性映射，要将其等同于V上的线性变换，则还需要给出V上的另一个非退化的对称或反对称双线性形式。特别地，如果V是欧氏空间，即V上给定了内积(,)，则V上的线性变换T可以由f(x,y)=(x,Ty)一一对应为V上的双线性形式，其中对称变换一一对应到对称双线性形式。从矩阵表示上看，在V的任何一组标准正交基下，T和f的矩阵都是一致的。事实上，两组标准正交基之间的变换矩阵P是正交矩阵，于是P的逆等于P的转置，从而正交相似变换等同于正交合同变换。

3.多元函数的“变阵”。
(3.1)自治常微分方程组的初值问题的解“变阵”为光滑向量场的流。给定一个自治常微分方程组z'(t)=g(z(t))，考虑其初值问题z(0)=x的唯一解z(t;x)=f(x,t)。函数f(x,t)可以等价地看成f_t(x)，这里将t写在下标上，将[f](t)记为f_t。由方程组的自治性和初值问题解的唯一性，f_t是R^n到自身的一族单参数变换群，称为向量场g:R^n → R^n的流，由此引入了动力系统的观点。
(3.2)含时偏微分方程“变阵”为Banach空间中的常微分方程。设有关于u(x,t)的偏微分方程。若将函数u(x,t)看成映射[u]:[0, T] → B，其中B是x的函数组成的Banach空间，则原来的偏微分方程成为B-值的常微分方程，由此可以引入泛函分析的工具。

4.随机过程的“变阵”。随机过程X_t是概率空间(S,B,P)上的一族单参数随机变量，即每个X_t是S上的可测函数。我们同样可以将其看成是二元映射X:S × T → R，其中指标集T是R的某个子集。再一次变换观点，考虑[X]:S → M(T,R)。我们可以在M(T,R)上定义一个σ-代数，使[X]成为可测映射。具体地，对于每个t，取坐标映射
x_t:M(T,R) → R
      w    ⟼  x_t(w)=w(t)，
有X_t=x_t∘[X]。因此若取M(T,R)上的乘积σ-代数，即使得所有的x_t可测的最小σ-代数，则[X]:S → M(T,R)可测，从而诱导了M(T,R)上的一个概率测度。将坐标映射x_t看成诱导概率空间M(T,R)上的随机过程，其与原来的随机过程X_t具有同样的有限维分布。特别地，当T为区间[0,\infty)，且假设X_t具有连续轨道，则[X]可视为S → C[0,\infty)的可测映射，即可在“正则”空间C[0,\infty)上构造“标准”随机过程x_t。在C[0,\infty)上可定义一距离d，使得在该度量下的收敛等价于在任意有限闭区间上的一致收敛，并且使得所有的x_t可测的最小σ-代数即为此度量所决定的拓扑所生成的Borel σ-代数。